1 . 已知函数.
(1)若，求的图象在处的切线方程;
(2)若有两个极值点，证明:.

3 . 设函数，其中.
(1)讨论的单调性；
(2)若存在两个极值点，设极大值点为为的零点，求证：.

4 . 已知函数，．
(1)若不等式恒成立，求a的取值范围；
(2)若时，存在4个不同实数满足．证明：．

5 . 已知函数.
(1)当时，试比较与的大小；
(2)若斜率为的直线与的图象交于不同两点，，线段的中点的横坐标为，证明：.

6 . 设函数在区间上的导函数为，且在上存在导函数（其中）．定义：若区间上恒成立，则称函数在区间上为凸函数．
已知函数的图像过点，且在点处的切线斜率为．
(1)判断在区间上是否为凸函数，说明理由；
(2)求证：当时，函数有两个不同的零点．

7 . 已知为函数的极值点．
(1)求；
(2)证明：当时，．

8 . 已知函数．
(1)判断函数在区间上零点和极值点的个数，并给出证明；
(2)若时，不等式恒成立，求实数的取值范围．

9 . 已知函数.
(1)判断在上的单调性；
(2)若，求证：.

10 . 已知函数， 且.
(1)求a；
(2)证明：存在唯一的极大值点，且.