1 . 定义：若函数
与
的图象在
上有且仅有一个交点，则称函数与在上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数
，
，
.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当
时，
（i）求证：函数与在
上存在“单交点”
；
（ⅱ）对于（i）中的正数
，证明：
.
与的图象在上有且仅有一个交点，则称函数与在上单交，此交点被称为“单交点”.已知函数，，.(1)讨论函数
的单调性；(2)当
时，（i）求证：函数
与在上存在“单交点”；（ⅱ）对于（i）中的正数
，证明：.
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2 . 已知函数
，其中
．
(1)若
，证明：
时，
；
(2)若函数
在其定义域内单调递增，求实数
的值；
(3)已知数列
的通项公式为
，求证：
．
，其中．(1)若
，证明：时，；(2)若函数
在其定义域内单调递增，求实数的值；(3)已知数列
的通项公式为，求证：．
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2024-06-08更新
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268次组卷
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2卷引用：安徽省蚌埠市2024届高三第四次教学质量检查考试数学试题
2024高三·全国·专题练习
3 . 已知函数
恰有两个零点
．
(1)求实数的取值范围；
(2)若函数
，求证：在
上单调递减；
(3)证明：
．
恰有两个零点．(1)求实数
的取值范围；(2)若函数
，求证：在上单调递减；(3)证明：
．
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名校
解题方法
4 . 已知函数
．
(1)证明：
；
(2)设函数
，若
恒成立，求
的最小值；
(3)若方程
有两个不相等的实根
，求证：
．
．(1)证明：
；(2)设函数
，若恒成立，求的最小值；(3)若方程
有两个不相等的实根，求证：．
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5 . 已知函数
，曲线
在点处的切线为
，记
．
(1)当
时，求切线
的方程；
(2)在（1）的条件下，求函数
的零点并证明
；
(3)当
时，直接写出函数的零点个数．（结论不要求证明）
，曲线在点处的切线为，记．(1)当
时，求切线的方程；(2)在（1）的条件下，求函数
的零点并证明；(3)当
时，直接写出函数的零点个数．（结论不要求证明）
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解题方法
6 . 已知函数
.
(1)当
时，证明：
；
(2)已知
，
，求证：函数
存在极小值.
.(1)当
时，证明：；(2)已知
，，求证：函数存在极小值.
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名校
7 . 若数列的各项均为正数，且对任意的相邻三项
，都满足
，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足
则称该数列为“凸数列”．
(1)已知正项数列
是一个“凸数列”，且
，（其中
为自然常数，
），证明：数列是一个“对数性凸数列”，且有
；
(2)若关于
的函数
有三个零点，其中
．证明：数列
是一个“对数性凸数列”：
(3)设正项数列
是一个“对数性凸数列”，求证：
的各项均为正数，且对任意的相邻三项，都满足，则称该数列为“对数性凸数列”，若对任意的相邻三项，都满足则称该数列为“凸数列”．(1)已知正项数列
是一个“凸数列”，且，（其中为自然常数，），证明：数列是一个“对数性凸数列”，且有；(2)若关于
的函数有三个零点，其中．证明：数列是一个“对数性凸数列”：(3)设正项数列
是一个“对数性凸数列”，求证：
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2024高三·全国·专题练习
8 . 已知
，函数
有两个零点，记为
，
．
(1)证明：
．
(2)对于
，若存在
，使得
，求证：
．
，函数有两个零点，记为，．(1)证明：
．(2)对于
，若存在，使得，求证：．
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9 . 已知函数
．
(1)求函数
的单调区间；
(2)若函数的两个极值点分别为，证明：
；
(3)设
，求证：当
时，
有且仅有2个不同的零点．
（参考数据：
）
．(1)求函数
的单调区间；(2)若函数
的两个极值点分别为，证明：；(3)设
，求证：当时，有且仅有2个不同的零点．（参考数据：
）
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名校
解题方法
10 . 若函数在定义域内存在两个不同的数，同时满足
，且在点
处的切线斜率相同，则称为“切合函数”
(1)证明：
为“切合函数”；
(2)若
为“切合函数”，并设满足条件的两个数为．
（ⅰ）求证：
；
（ⅱ）求证：
．
在定义域内存在两个不同的数，同时满足，且在点处的切线斜率相同，则称为“切合函数”(1)证明：
为“切合函数”；(2)若
为“切合函数”，并设满足条件的两个数为．（ⅰ）求证：
；（ⅱ）求证：
．
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2024-05-12更新
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189次组卷
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2卷引用：重庆市名校联盟2023-2024学年高三下学期第一次联考数学试题
