解题方法
1 . 利用曲线的切线进行放缩:设上任意一点的横坐标为,则过该点的切线方程为,即,由此可得与有关的不等式,其中,等号当且仅当时成立;设上任意一点的横坐标为,则过该点的切线方程为,即,由此可得与有关的不等式:,其中,等号当且仅当时成立,设是在点处的切线
(1)求的解析式
(2)求证:
(3)设,若对恒成立,求的取值范围.
(1)求的解析式
(2)求证:
(3)设,若对恒成立,求的取值范围.
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解题方法
2 . 已知常数,设,
(1)若,求函数的最小值;
(2)是否存在,且,,依次成等比数列,使得、、依次成等差数列?请说明理由.
(3)求证:“”是“对任意,,都有”的充要条件.
(1)若,求函数的最小值;
(2)是否存在,且,,依次成等比数列,使得、、依次成等差数列?请说明理由.
(3)求证:“”是“对任意,,都有”的充要条件.
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2024高三上·全国·竞赛
3 . 对三次函数,如果其存在三个实根,则有.称为三次方程根与系数关系.
(1)对三次函数,设,存在,满足.证明:存在,使得;
(2)称是上的广义正弦函数当且仅当存在极值点,使得.在平面直角坐标系中,是第一象限上一点,设.已知在上有两根.
(i)证明:在上存在两个极值点的充要条件是;
(ii)求点组成的点集,满足是上的广义正弦函数.
(1)对三次函数,设,存在,满足.证明:存在,使得;
(2)称是上的广义正弦函数当且仅当存在极值点,使得.在平面直角坐标系中,是第一象限上一点,设.已知在上有两根.
(i)证明:在上存在两个极值点的充要条件是;
(ii)求点组成的点集,满足是上的广义正弦函数.
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4 . 已知与都是定义在上的函数,若对任意,,当时,都有,则称是的一个“控制函数”.
(1)判断是否为函数的一个控制函数,并说明理由;
(2)设的导数为,,求证:关于的方程在区间上有实数解;
(3)设,函数是否存在控制函数?若存在,请求出的所有控制函数;若不存在,请说明理由.
(1)判断是否为函数的一个控制函数,并说明理由;
(2)设的导数为,,求证:关于的方程在区间上有实数解;
(3)设,函数是否存在控制函数?若存在,请求出的所有控制函数;若不存在,请说明理由.
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5 . 定义:设和均为定义在上的函数,它们的导函数分别为和,若不等式对任意实数恒成立,则称和为“相伴函数”.
(1)给出两组函数,①和②和,分别判断这两组函数是否为“相伴函数”(只需直接给出结论,不需论证);
(2)若是定义在上的可导函数,是偶函数,是奇函数,,证明:和为“相伴函数”;
(3),写出“和为相伴函数”的充要条件,证明你的结论.
(1)给出两组函数,①和②和,分别判断这两组函数是否为“相伴函数”(只需直接给出结论,不需论证);
(2)若是定义在上的可导函数,是偶函数,是奇函数,,证明:和为“相伴函数”;
(3),写出“和为相伴函数”的充要条件,证明你的结论.
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6 . 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,斑斓夺目的数学知识中函数尤为耀眼,加上数列知识的加持,犹如锦上添花.下面让我们通过下面这题来体会函数与数列之间的联系.已知,.
(1)求函数的单调区间
(2)若数列(为自然底数),,,,,求使得不等式:成立的正整数的取值范围
(3)数列满足,,.证明:对任意的,.
(1)求函数的单调区间
(2)若数列(为自然底数),,,,,求使得不等式:成立的正整数的取值范围
(3)数列满足,,.证明:对任意的,.
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解题方法
7 . 已知函数,对于数列,若,则称为函数的“生成数列”,为函数的一个“源数列”.
(1)已知 为函数的“生成数列”,为函数的“源数列”,求;
(2)已知为函数的“源数列”,求证:对任意正整数,均有;
(3)已知为函数的“生成数列”,为函数的“源数列”, 与的公共项按从小到大的顺序构成数列,试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.
(1)已知 为函数的“生成数列”,为函数的“源数列”,求;
(2)已知为函数的“源数列”,求证:对任意正整数,均有;
(3)已知为函数的“生成数列”,为函数的“源数列”, 与的公共项按从小到大的顺序构成数列,试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列?请说明理由.
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8 . 已知数列满足,则( )
A.当时,为递减数列,且存在常数,使得恒成立 |
B.当时,为递增数列,且存在常数,使得恒成立 |
C.当时,为递减数列,且存在常数,使得恒成立 |
D.当时,为递增数列,且存在常数,使得恒成立 |
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2023-06-19更新
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9667次组卷
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20卷引用:上海市育才中学2024届高三上学期10月调研数学试题
上海市育才中学2024届高三上学期10月调研数学试题上海市南洋模范中学2024届高三上学期10月月考数学试题上海市普陀区晋元高级中学2024届高三上学期秋考模拟数学试题(已下线)第4章 数列(压轴题专练)-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练(沪教版2020选择性必修第一册)2023年北京高考数学真题专题05数列(成品)(已下线)2023年北京高考数学真题变式题6-10(已下线)北京十年真题专题06数列北京十年真题专题06数列山西省晋城市第一中学校2024届高三上学期8月月考数学试题北京市东直门中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题(已下线)模块四 第五讲:利用导数证明不等式【练】(已下线)第1讲:数列的函数性质应用【练】(已下线)数列的综合应用(已下线)第3讲:数列中的不等问题【练】(已下线)第4讲:数列中的最值问题【练】(已下线)专题06 数列在高考中的考法(难点,十一大题型+过关检测专训)-2023-2024学年高二数学《重难点题型·高分突破》(人教A版2019选择性必修第二册)(已下线)专题05 数列 第三讲 数列与不等关系(分层练)(已下线)重难点10 数列的通项、求和及综合应用【九大题型】(已下线)专题28 数列的概念与简单表示
9 . 令,取点过其曲线作切线交y轴于,取点过其作切线交y轴于,若则停止,以此类推,得到数列.
(1)若正整数,证明;
(2)若正整数,试比较与大小;
(3)若正整数,是否存在k使得依次成等差数列?若存在,求出k的所有取值,若不存在,试说明理由.
(1)若正整数,证明;
(2)若正整数,试比较与大小;
(3)若正整数,是否存在k使得依次成等差数列?若存在,求出k的所有取值,若不存在,试说明理由.
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2023·上海·模拟预测
名校
10 . 已知.记,其中常数m,.
(1)证明:对任意m,,曲线过定点;
(2)证明:对任意s,,;
(3)若对一切和一切使得的函数,恒成立,求实数的取值范围.
(1)证明:对任意m,,曲线过定点;
(2)证明:对任意s,,;
(3)若对一切和一切使得的函数,恒成立,求实数的取值范围.
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