1 . 已知在中，.证明：
(1)；
(2)在上恒成立；
(3).

2 . 在研究函数问题时，我们经常遇到求函数在某个区间上值域的问题，但函数在区间端点又恰好没有意义的情况，此时我们就可以用函数在这点处的极限来刻画该点附近数的走势，从而得到数在区间上的值域.求极限我们有多种方法，其中有一种十分简单且好用的方法——洛必达法则
该法则表述为：“设函数，满足下列条件：
①，；
②在点a处函数和的图像是连续且光滑的，即函数和在点a处存在导数；
③，其中A是某固定实数；
则.”
那么，假设有函数，.
(1)若恒成立，求t的取值范围；
(2)证明：.

3 . 已知函数（且）.
(1)若函数在其定义域内既有极大值也有极小值，其中为的导函数，求实数的取值范围；
(2)当时，函数，其中，若，为的导函数，函数的极小值点为，试比较，的大小，并加以证明.

4 . 已知函数，．在下列三个条件中任选一个填在下面的横线上，解答下列问题．
①，②，③．
(1)（ⅰ）______，曲线在点处的切线经过点，求实数a的值；
（ⅱ）求证：是曲线的一条切线．
(2)，当，时，求证：．

5 . 已知函数，其中．求证：
(1)，且；
(2)，，.

6 . 有同学在研究指数函数和幂函数的图像时，发现它们在第一象限有两个交点和．通过进一步研究，该同学提出了如下两个猜想：请你证明或反驳该同学的猜想．
(1)函数与函数的图像在第一象限有且只有一个公共点；
(2)设，，且，若，则．其中为自然对数的底，

7 . 已知函数.
(1)若函数的最大值为0，求的值；
(2)已知直线（），证明有且仅有两个不同的实数，使得直线 与曲线，相切，且.

8 . 已知，直线为曲线在处的切线，直线与曲线相交于点且.
(1)求的取值范围；
(2)（i）证明：；
（ii）证明：.

9 . 已知函数.
(1)若是函数的极大值点，函数的极小值为.
①求实数的取值范围及的表达式；
②记为的最大值，求证：（是自然对数的底）.
(2)若在区间上有两个极值点.求证：.

10 . 已知函数，.
（1）若，求的取值范围；
（2）求证：存在唯一极大值点，且知；
（3）求证：.