1 . 已知，则的最小值为____________.

2 . “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题．该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”意大利数学家托里拆利给出了解答，当的三个内角均小于时，使得的点O即为费马点；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点．试用以上知识解决下面问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，且设点为的费马点．
(1)若，．
①求角；
②求．
(2)若，，求实数的最小值．

3 . 已知圆：，过点的直线与轴交于点，与圆交于，两点，则的取值范围是（       ）

A．

B．

C．

D．

4 . 对于数集，其中，，定义向量集，若对任意，存在，使得，则称具有性质．
(1)已知数集，请写出数集对应的向量集，并判断是否具有性质（不需要证明）．
(2)若，且具有性质，求的值；
(3)若具有性质，且，为常数且，求证：．

5 . 个有次序的实数，，，所组成的有序数组，，，称为一个维向量，其中，2，，称为该向量的第个分量．特别地，对一个维向量，若，，，称为维信号向量．设，，则和的内积定义为，且．
(1)直接写出4个两两垂直的4维信号向量．
(2)证明：不存在6个两两垂直的6维信号向量．
(3)已知个两两垂直的2024维信号向量，，，满足它们的前个分量都是相同的，求证：．

6 . 已知平面向量与的夹角为，若恒成立，则实数的取值范围为______．

7 . 如图，在平面四边形中，，对任意实数都有，若为的面积，且，，则的最大值是______.

8 . 对于一组向量，（且），令，如果存在，使得，那么称是该向量组的“长向量”．
(1)设，且，若是向量组的“长向量”，求实数的取值范围；
(2)若且，向量组是否存在“长向量”？若存在，求出正整数；若不存在，请说明理由；
(3)已知均是向量组的“长向量”，其中，．设在平面直角坐标系中有一点列满足，为坐标原点，为的位置向量的终点，且与关于点对称，与（且）关于点对称，求的最小值．

9 . 在中，角A，，对应的边分别为，，，．
(1)求角A；
(2)法国著名数学家奥古斯丁路易斯柯西（AugustinLouisCauchy，1789年－1857年）在数学领域有非常高的造诣．很多数学的定理和公式都以他的名字来命名，如柯西不等式、柯西积分公式．其中柯西不等式在解决不等式证明的有关问题中有着广泛的应用．
①柯西不等式的二维形式是对于任意的，，，，有．请证明上述不等式，并写出等号取到的条件；
②请用柯西不等式的二维形式求的最大值，并写出等号取到的条件；
③在（1）的条件下，若，是内一点，过作，，垂线，垂足分别为，，，借助于三维分式型柯西不等式：，，，当且仅当时等号成立．求的最小值．