1 . 对任意，函数满足，，数列的前15项和为，数列满足，若数列的前项和的极限存在，则___________.

3 . 若数列和满足，，，，则______.

5 . 在数列中.，是其前n项和，当时，恒有、、成等比数列，则___________

6 . 设数列{a_n}的前n项和为S_n．
(1)若{a_n}是等比数列，a₂＝，S₂＝，求；
(2)若{a_n}是等差数列，a₁＝1，d＝4，若S_k是数列{a_n}中的项，求所有满足条件的正整数k组成的集合；
(3)若数列{a_n}满足a₁＝1且，是否存在无穷数列{a_n}，使得a₂₀₂₂＝﹣2021？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）；若不存在，说明理由．

7 . 已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁＝b₁＝1，对任何正整数n均有a_n+1＝a_n+b_n+，b_n+1＝a_n+b_n﹣，设，记T_n＝，则＝____．

8 . 已知在数列{a_n}中，a₂＝1，其前n项和为S_n．
(1)若{a_n}是等比数列，S₂＝3，求S_n；
(2)若{a_n}是等差数列，S_2n≥n，求其公差d的取值范围．

9 . 正项等比数列中，存在两项使得，且，则最小值____.

10 . 已知数列的前项和为，满足：.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)若，数列满足，记为的前项和，求证：；
(3)在（2）的前提下，记，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.