1 . 约数，又称因数.它的定义如下：若整数除以整数除得的商正好是整数而没有余数，我们就称为的倍数，称为的约数.设正整数共有个正约数，即为.
(1)当时，若正整数的个正约数构成等比数列，请写出一个的值；
(2)当时，若构成等比数列，求正整数；
(3)记，求证：.

2 . 已知数列的前n项和为，且，若，则（       ）

A．

B．

C．

D．

3 . 已知函数的最小值为0．证明：

4 . 已知数列满足，，且，则下列说法正确的是（       ）

A．，

B．是递增数列

C．

D．，，

5 . 高斯是德国著名数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用他名字定义的函数称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，如，，已知数列满足，，，若，为数列的前n项和，则（       ）

A．2026

B．2025

C．2024

D．2023

6 . 设，.
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，证明：；
(3)证明：.

7 . 已知．
(1)求函数的极值；
(2)求证：对任意正整数n，有；
(3)记，求整数a，使得．

8 . 对于数列，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有，则称数列为有界数列；若这样的正数M不存在，则称数列为无界数列．下列说法正确的有（       ）

A．等比数列的公比为，若，则是有界数列

B．若数列的通项，则是有界数列

C．若正项数列满足：，则是无界数列

D．若数列满足：，且，则是有界数列

9 . 已知函数.
(1)若，求的取值范围；
(2)证明：.

10 . 已知数列中，，，下列说法正确的是（       ）
（参考公式：）

A．

B．

C．存在，使得

D．