1 . 已知函数.
(1)求证：在上是增函数；
(2)若对任意，都有，求实数的取值范围.

2 . 已知二次函数是R上的偶函数，且，．
(1)设，根据函数单调性的定义证明在区间上单调递增：
(2)当时，解关于x的不等式．

3 . 已知二次函数.
(1)若，设方程的两根为、，求；
(2)若，求使成立的的集合；
(3)求证：函数有两个零点.

4 . 已知函数，.
(1)若，求自变量的取值范围；
(2)设，根据定义证明在区间上单调递减．

5 . 对于定义域为的函数，如果存在区间，使得在区间上是单调函数，且函数，的值域是，则称区间是函数的一个“优美区间”.
(1)判断函数和函数是否存在“优美区间”?如果存在，写出一个符合条件的“优美区间”.（直接写出结论，不要求证明）
(2)如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值.

6 . 已知
(1)求证是关于的方程有解的一个充分条件；
(2)当时，求关于的方程有一个正根和一个负根的充要条件．

7 . 已知，．
(1)证明：当，是的不必要不充分条件；
(2)若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．

8 . 已知关于x的方程有一个根为．
(1)求证：方程有一个根为的充要条件是；
(2)若，解关于x的不等式．

9 . 已知不等式的解集为，记函数.
(1)求证：方程必有两个不同的根；
(2)若方程的两个根分别为、，求的取值范围；
(3)是否存在这样实数的、、及，使得函数在上的值域为.若存在，求出的值及函数的解析式；若不存在，说明理由.

10 . 若，求证：方程和方程至少有一个方程有实数根.