5 . （1）利用双曲线定义证明：方程表示的曲线是焦点在直线上的双曲线，记为曲线；
（2）设点在曲线上，在曲线上，且满足，求方程；
（3）点在上，过点的直线与的渐近线交于，两点，且满足，求（为坐标原点）的面积.

6 . 三角函数的定义是：在单位圆C：中，作一过圆心的射线与单位圆交于点P，自x轴正半轴开始逆时针旋转到达该射线时转过的角大小为θ，则P点坐标为，转动中扫过的圆心角为θ的扇形，由圆弧面积公式和弧度角的定义，可知面积．类似地对于双曲三角函数有这样的定义：在单位双曲线E：中，过原点作一射线交右支于点P，该射线和x轴及双曲线围成的曲边三角形面积是，双曲角，则P的坐标是．其中，称为双曲余弦函数，称为双曲正弦函数同样，有类似定义双曲正切函数双曲余切函数且有如下关系式：，

   

（1）阅读上述文字并求出,的初等函数表达式．
（Ⅰ）双曲三角函数有如下和差公式，请任选其一进行证明：
①；
②；
（Ⅱ）①求函数在R上的值域；
②若对，关于x的方程有解，求实数a的取值范围．
类似三角函数的反函数，试研究双曲三角函数的反函数artanhx，arcothx．
（2）①证明：
②已知的级数展开式为，写出的级数展开式．

9 . 函数的凹凸性的定义是由丹麦著名的数学家兼工程师Johan Jensen在1905年提出来的．其中对于凸函数的定义如下：设连续函数的定义域为（或开区间或，或都可以），若对于区间上任意两个数，均有成立，则称为区间上的凸函数．容易证明譬如都是凸函数．Johan Jensen在1906年将上述不等式推广到了个变量的情形，即著名的Jensen不等式：若函数为其定义域上的凸函数，则对其定义域内任意个数，均有成立，当且仅当时等号成立．
(1)若函数为上的凸函数，求的取值范围：
(2)在中，求的最小值；
(3)若连续函数的定义域和值域都是，且对于任意均满足下述两个不等式：，证明：函数为上的凸函数．（注：）

10 . 对于一个函数和一个点，令，若是取到最小值的点，则称是在的“最近点”．
(1)对于，求证：对于点，存在点，使得点是在的“最近点”；
(2)对于，请判断是否存在一个点，它是在的“最近点”，且直线与在点处的切线垂直；
(3)已知在定义域R上存在导函数，且函数 在定义域R上恒正，设点，．若对任意的，存在点同时是在的“最近点”，试判断的单调性．