1 . 在长方体中，，分别是，的中点，，，过，，三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体．
   
(1)求证：平面；
(2)求点到平面的距离；
(3)若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．

2 . 如图，在直三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，平面.

(1)求证：平面平面；
(2)当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值.

3 . 如图，在直三棱柱中，，是面积为的正方形，且与平面所成的角为．

(1)求三棱柱的体积；
(2)若为棱上靠近的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值．

4 . 阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．如图，四棱锥P－ABCD就是阳马结构，PD⊥平面ABCD，且，，．

(1)证明：平面；
(2)若，求三棱锥的体积．

5 . 已知圆锥的底面半径为3，母线长为5，在圆锥内部放置一个内接圆柱（圆柱的一底面与圆锥的底面重合），

(1)求圆柱的体积V与其底面半径r的函数关系式；
(2)求圆柱的体积V最大值．

6 . 已知直棱柱的底面ABCD为菱形，且，，点为的中点．

(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积．

8 . 在如图所示的几何体中，底面，底面是边长为4的正方形，其中心为P，．

(1)求三棱锥的体积；
(2)求二面角的平面角的余弦值．

9 . 如图，在四棱锥中，， ，，，，．是棱上一点， 平面．

(1)求证：为的中点；
(2)再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求四棱锥的体积．
条件 ①：点到平面的距离为；
条件 ②：直线与平面所成的角为．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．