1 . 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，．

（1）证明：；
（2）当直线与平面所成角的正弦值最大时，求此时二面角的大小．

2 . 如图，在四棱锥中，等边三角形PAD所在的平面与正方形ABCD所在的平面互相垂直，O为AD的中点，E为DC的中点，且.

（1）求证：平面ABCD；
（2）求二面角的平面角的余弦值；
（3）在线段AB上是否存在点M，使直线PM与所在平面成角？若存在，求出AM的长，若不存在，请说明理由.

3 . 如图，已知四棱锥，其中，，，，侧面底面，是上一点，且是等边三角形.

（1）求证：平面；
（2）当点到的距离取最大值时，求平面与平面的夹角.

4 . 如图1，在中，，分别为，的中点，为的中点，，.将沿折起到的位置，使得平面平面，如图2.

（1）求证：.
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
（3）线段上是否存在点，使得直线和所成角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.

5 . 在四棱锥中，平面平面，底面为直角梯形，，，，，为线段的中点，过的平面与线段，分别交于点，.

（1）求证：；
（2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由.

6 . 如图，在四棱锥中，，，.平面平面，为等边三角形，点是棱上的一动点.

(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值的最大值.

7 . 如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，平面，，，点E是线段SD上的点，且 ().

（1）求证：对任意的，都有；
（2）设二面角的大小为，直线BE与平面ACE所成角为，当时，求的值.

8 . 如图，在直三棱柱中，M为棱的中点，，，.

(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
(3)在棱上是否存在点N，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由.

9 . 如图，在四棱锥中，，，，平面平面ABCD.

（1）求证：；
（2）已知二面角的余弦值为.线段PC上是否存在点M，使得BM与平面PAC所成的角为30°？证明你的结论.

10 . 如图，在四棱锥中，四边形是等腰梯形，．分别是的中点，且，平面平面．

（1）证明：平面；
（2）已知三棱锥的体积为，求二面角的大小．