名校
解题方法
1 . 正四棱台
是
的中点，在直线
上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段
的长度为____________ ．
是的中点，在直线上各取一个点P、Q，使得M、P、Q三点共线，则线段的长度为
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2023-12-19更新
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703次组卷
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5卷引用：上海市嘉定区2024届高三一模数学试题
上海市嘉定区2024届高三一模数学试题广东省广州市中山大学附中2024届高三上学期第一次调研数学试题（已下线）专题2 用空间向量解决立体几何问题（已下线）第3章 空间向量及其应用（知识归纳+题型突破）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）江西省吉安市峡江中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷（九省联考题型）
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解题方法
2 . 《瀑布》（图1）是埃舍尔为人所知的作品.画面两座高塔各有一个几何体，左塔上方是著名的“三立方体合体”（图2）.在棱长为2的正方体
中建立如图3所示的空间直角坐标系（原点O为该正方体的中心，x，y，z轴均垂直该正方体的面），将该正方体分别绕着x轴，y轴，z轴旋转
，得到的三个正方体
，
，2，3（图4，5，6）结合在一起便可得到一个高度对称的“三立方体合体”（图7）.在图7所示的“三立方体合体”中，下列结论正确的是（ ）
中建立如图3所示的空间直角坐标系（原点O为该正方体的中心，x，y，z轴均垂直该正方体的面），将该正方体分别绕着x轴，y轴，z轴旋转，得到的三个正方体，，2，3（图4，5，6）结合在一起便可得到一个高度对称的“三立方体合体”（图7）.在图7所示的“三立方体合体”中，下列结论正确的是（ ）A．设点 的坐标为 ，，2，3，则 |
B．设 ，则 |
C．点 到平面 的距离为 |
D．若G为线段 上的动点，则直线 与直线 所成角最小为 |
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2022-12-22更新
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1472次组卷
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10卷引用：第五篇 向量与几何 专题18 空间点线面问题 微点2 空间点线面问题综合训练
（已下线）第五篇 向量与几何 专题18 空间点线面问题 微点2 空间点线面问题综合训练辽宁省大连市第二十四中学2023届高三高考适应性测试（一）数学试题（已下线）第七章 立体几何 专题3 组合体中的距离问题（已下线）第十章 导数与数学文化 微点3 导数与数学文化（三）（已下线）第十一章 数学建模综合测试B（提升卷）（高三一轮）（已下线）第六章 突破立体几何创新问题 专题一 跨学科交汇问题 微点2 跨学科交汇问题（二）【培优版】广东省2022-2023学年高二上学期12月质量检测联考数学试题山东省2022-2023学年高二上学期12月质量检测联合调考数学试题江苏省苏州市2022-2023学年高二上学期期末学业质量阳光指标调研数学试题山东省济宁市邹城市2022-2023学年高二上学期期末数学试题
3 . 如图，在棱长为2的正方体
中，
为
的中点，则下列说法正确的有（ ）
中，为的中点，则下列说法正确的有（ ）
A．若点 为 中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为 |
B．若点 为线段 上的动点（包含端点），则 的最小值为 |
C．若点 为 的中点，则平面 与四边形 的交线长为 |
D．若点 在侧面正方形 内（包含边界）且 ，则点的轨迹长度为 |
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解题方法
4 . 如图，正四棱柱中，
，动点满足
，且
．则下列说法正确的是（ ）
中，，动点满足，且．则下列说法正确的是（ ）A．当 时，三棱锥 的体积为 |
B．当 时， 的最小值为 |
C．若直线 与所成角为 ，则动点的轨迹长为 |
D．当 时，三棱锥 外接球半径的取值范围是 |
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5 . 如图所示的几何体
中，
和
均为以
为直角顶点的等腰直角三角形，
，
，
，
，为
的中点.
（1）求证：
；
（2）求二面角
的大小；
（3）设为线段
上的动点，使得平面
平面
，求线段
的长.
中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，为的中点.（1）求证：
；（2）求二面角
的大小；（3）设
为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长.
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2020-05-27更新
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2396次组卷
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16卷引用：2020届天津市河西区高考一模数学试题
2020届天津市河西区高考一模数学试题（已下线）考点29 空间向量解决空间直线、平面位置关系-备战2021年新高考数学一轮复习考点一遍过（已下线）专题1.3 空间向量及其运算的坐标表示-2020-2021学年高二数学同步课堂帮帮帮（人教A版2019选择性必修第一册）辽宁省大连市红旗高级中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题天津市南开中学2022-2023学年高三上学期10月阶段性统一练习(一)数学试题（已下线）第01讲 空间向量及其运算（6大考点）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）专题01 空间向量与立体几何（5）（已下线）高二数学第一学期期期末押题密卷03卷（已下线）第3章 空间向量及其应用 单元综合检测（难点）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）山东省新泰市第一中学老校区（新泰中学）2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题山东省潍坊市寿光市现代中学2020-2021学年高二（上）期中数学试题山东省寿光现代中学2020-2021学年高二11月月考数学试题海南省北京师范大学万宁附属中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题广西玉林市博白县第四中学（博白县中学书香校区）2022-2023学年上学期高二9月月考数学试题广东省台山市第一中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题广东省深圳市福田区外国语高级中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题
6 . 已知
，
，
和
为空间中的4个单位向量，且
，则
不可能等于
，，和为空间中的4个单位向量，且，则不可能等于| A．3 | B． | C．4 | D． |
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2019-01-03更新
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3253次组卷
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7卷引用：【校级联考】浙江省丽水市四校联考2018-2019学年高二5月阶段性考试数学试题
【校级联考】浙江省丽水市四校联考2018-2019学年高二5月阶段性考试数学试题（已下线）1.1 空间向量及其运算-2021-2022学年高二数学尖子生同步培优题典（人教A版2019选择性必修第一册）上海市复兴高级中学2022届高三上学期期中数学试题上海市黄浦区大同中学2022届高三上学期12月月考数学试题（已下线）专题01 空间向量及其运算压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）四川省雅安市天立学校2022-2023学年高二下学期期中教学质量测试数学（理）试题【校级联考】浙江省金丽衢十二校2019届高三第二次联考数学试题
名校
解题方法
7 . 点P是长方体内的动点，已知
，Q是平面BC₁D上的动点，满足
，则
的最小值是______ .
内的动点，已知，Q是平面BC₁D上的动点，满足，则的最小值是
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2023-11-11更新
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426次组卷
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5卷引用：浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题
浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题（已下线）3.3 空间向量的坐标表示(九大题型)(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）（已下线）压轴小题5 空间向量中的最值问题浙江省浙南名校联盟2023-2024学年高二上学期11月期中联考数学试题浙江省金华市武义第一中学2023-2024学年高二上学期11月检测2数学试题
8 . 在正方体中，点满足
，其中
，则下列说法正确的是（ ）
中，点满足，其中，则下列说法正确的是（ ）A．若 在同一球面上，则 |
B．若  平面 ，则 |
C．若点到 四点的距离相等，则 |
D．若 平面 ，则 |
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名校
9 . 正方体中，点P满足
，且
，直线
与平面
所成角为
，则
_____________ ．
中，点P满足，且，直线与平面所成角为，则
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10 . 若
，则称
为
维空间向量集，
为零向量，对于
，任意
，定义：
①数乘运算：
；
②加法运算：
；
③数量积运算：
；
④向量的模：
，
对于中一组向量
，若存在一组不同时为零的实数
使得
，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，
(1)对于
，判断下列各组向量是否线性相关：
①
；
②
；
(2)已知
线性无关，试判断
是否线性相关，并说明理由；
(3)证明：对于中的任意两个元素
，均有
，
，则称为维空间向量集，为零向量，对于，任意，定义：①数乘运算：
；②加法运算：
；③数量积运算：
；④向量的模：
，对于
中一组向量，若存在一组不同时为零的实数使得，则称这组向量线性相关，否则称为线性无关，(1)对于
，判断下列各组向量是否线性相关：①
；②
；(2)已知
线性无关，试判断是否线性相关，并说明理由；(3)证明：对于
中的任意两个元素，均有，
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