解题方法
1 . 如图．已知平行六面体
的底面是菱形，
，
．
；
(2)求点
到平面
的距离．
的底面是菱形，，．
；(2)求点
到平面的距离．
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解题方法
2 . 三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：
若
，则称
为空间向量
与
的叉乘，其中
，
， 
为单位正交基底. 以 
为坐标原点、分别以
，
，
的方向为 
轴、 
轴、 
轴的正方向建立空间直角坐标系，已知
，
是空间直角坐标系中异于 的不同两点
(1)①若
，
，求
；
②证明
.
(2)记
的面积为 
，证明：
.
(3)证明：
的几何意义表示以为底面、
为高的三棱锥体积的
倍.
若，则称为空间向量与的叉乘，其中，， 为单位正交基底. 以 为坐标原点、分别以，，的方向为 轴、 轴、 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知，是空间直角坐标系中异于 的不同两点(1)①若
，，求；②证明
.(2)记
的面积为 ，证明：.(3)证明：
的几何意义表示以为底面、为高的三棱锥体积的倍.
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2024-03-07更新
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888次组卷
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8卷引用：江苏省江都中学2023-2024学年高二下学期3月联考数学试卷
江苏省江都中学2023-2024学年高二下学期3月联考数学试卷江苏省盱眙中学2023-2024学年高二下学期第一次学情调研数学试题河南省部分重点高中2024届高三普通高等学校招生全国统一考试（期末联考）数学试卷江苏省扬州市仪征中学2024届高三下学期期初调研测试数学试题 河南省部分重点高中（青桐鸣）2023-2024学年高三上学期期末大联考数学试题（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）（已下线）第七章 应用空间向量解立体几何问题拓展 专题二 平面法向量求法及其应用 微点2 平面法向量求法及其应用（二）【培优版】（已下线）专题08 期末必刷解答题专题训练的7种常考题型归类-期末真题分类汇编（北师大版2019必修第二册）
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3 . 已知点
，
，
，设
，
，
．
(1)若实数
使
与
垂直，求值．
(2)求
在
上的投影向量．
，，，设，，．(1)若实数
使与垂直，求值．(2)求
在上的投影向量．
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4 . 如图所示，平行六面体中，
，
.
表示向量
；
(2)求
.
中，，.
表示向量；(2)求
.
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名校
解题方法
5 . 我们把和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线.如图，在菱形
中，
，将
沿
翻折，使点A到点P处.E，F，G分别为，
，
的中点，且
是与的公垂线.
(1)证明：三棱锥
为正四面体；
(2)若点M，N分别在
，上，且
为与的公垂线.
①求
的值；
②记四面体
的内切球半径为r，证明：
.
中，，将沿翻折，使点A到点P处.E，F，G分别为，，的中点，且是与的公垂线. (1)证明：三棱锥
为正四面体；(2)若点M，N分别在
，上，且为与的公垂线.①求
的值；②记四面体
的内切球半径为r，证明：.
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2023-07-04更新
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2089次组卷
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9卷引用：四川省成都市2023-2024学年高二上学期九月调研考试（校级联考）数学试题
四川省成都市2023-2024学年高二上学期九月调研考试（校级联考）数学试题四川省成都市树德中学2023-2024学年高二上学期10月阶段性测试数学试题（已下线）专题01 空间向量及其运算压轴题（5类题型+过关检测）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学上学期压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第一章 空间向量与立体几何（压轴题专练，精选20题）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第3章 空间向量及其应用（压轴题专练）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020选择性必修第一册）（已下线）第3章 空间向量及其应用 单元综合检测（难点）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）重庆市南开中学校2022-2023学年高一下学期期末数学试题（已下线）第三章 折叠、旋转与展开 专题一 平面图形的翻折、旋转 微点4 翻折、旋转问题中的最值（一）（已下线）第四章 立体几何解题通法 专题二 体积法 微点2 体积法（二）【基础版】
6 . 如图，在三棱锥
中，
，
，
，
，
的中点分别为
，点
在
上，
．
//平面
；
(2)若
，求三棱锥的体积．
中，，，，，的中点分别为，点在上，．
//平面；(2)若
，求三棱锥的体积．
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2023-06-09更新
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19970次组卷
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22卷引用：第03讲 空间中平行、垂直问题10种常见考法归类（3）
（已下线）第03讲 空间中平行、垂直问题10种常见考法归类（3）浙江省金华市东阳市外国语学校2022-2023学年高二下学期8月月考数学试题（已下线）第06讲 空间向量及其线性运算4种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）第一章 空间向量与立体几何（单元测试）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）2023年高考全国乙卷数学(文)真题（已下线）2023年高考数学真题完全解读（全国乙卷文科）全国甲乙卷3年真题分类汇编《立体几何》解答题全国甲乙卷5年真题分类汇编《立体几何》解答题专题06空间向量与立体几何（成品）（已下线）2023年高考全国乙卷数学(文)真题变式题16-20（已下线）专题10 空间向量与立体几何-1（已下线）第01讲 空间几何体的结构特征、表面积与体积（练习）陕西省西安市阎良区关山中学2024届高三上学期第三次质量检测数学（文）试题（已下线）模块7 空间几何篇 第2讲：立体几何的截面问题【练】（已下线）第5讲：立体几何中的动态问题【练】（已下线）专题05 空间向量与立体几何（解密讲义）（已下线）第4讲：立体几何中的最值问题【练】（清北二轮）（已下线）第3讲：立体几何中的探究问题【练】（已下线）专题15 立体几何解答题全归类（9大核心考点）（讲义）-1（已下线）重难点12 立体几何必考经典解答题全归类【九大题型】（已下线）专题23 立体几何解答题（文科）-1专题07立体几何与空间向量
22-23高二上·上海·期中
名校
7 . 如图，三棱柱
中，M，N分别是
上的点，且
．设
，
，
．，，
表示向量
；
(2)若
，求MN的长．
中，M，N分别是上的点，且．设，，．
，，表示向量；(2)若
，求MN的长．
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2022-11-16更新
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1664次组卷
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37卷引用：期中模拟预测卷01（测试范围：空间向量与立体几何、数列） -2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第三册+选修一）
（已下线）期中模拟预测卷01（测试范围：空间向量与立体几何、数列） -2022-2023学年高二数学上学期期中期末考点大串讲（沪教版2020必修第三册+选修一）（已下线）上海高二上学期期中【常考60题考点专练】（2）（已下线）上海高二上学期期中【易错、好题、压轴60题考点专练】（2）安徽省滁州市定远县定远县民族中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题安徽省滁州市定远县育才学校2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题福建省泉州市石狮市第八中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（已下线）6.2.2 空间向量的坐标表示（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）（已下线）6.2.1 空间向量基本定理（练习）-2022-2023学年高二数学同步精品课堂（苏教版2019选择性必修第二册）人教A版(2019) 选修第一册 数学奇书 第一章 学业评价（三）人教A版(2019) 选修第一册 数学奇书 第一章 空间向量与立体几何 1.2 空间向量基本定理辽宁省大连市第八中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）第03讲 1.2空间向量基本定理（4类热点题型讲练）-【帮课堂】2023-2024学年高二数学同步学与练（人教A版2019选择性必修第一册）甘肃省白银市靖远县第四中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题上海市嘉定区封浜高级中学2022-2023学年高二上学期11月期中数学试题（已下线）高二上学期期中【常考60题考点专练】（选修一全部内容）-2022-2023学年高二数学考试满分全攻略（人教A版2019选修第一册）重庆市杨家坪中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题广东省东莞市东华高级中学、东华松山湖高级中学2023-2024学年高二上学期10月联考数学试题（已下线）1.2 空间向量基本定理【第二练】（已下线）模块二 专题1《空间向量与立体几何》单元检测篇 A基础卷 （人教A）辽宁省葫芦岛市长江卫生中等职业技术学校2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（普高班）浙江省宁波赫威斯肯特学校2023-2024学年高二普高部上学期第一次月考数学试题上海市实验学校2023-2024学年高二上学期期中数学试题广东省肇庆市第一中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题上海市嘉定区第二中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题云南省迪庆州藏文中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题河南省南阳市南阳一中2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题安徽省黄山市屯溪第一中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题陕西省宝鸡市长岭中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题安徽省安庆市第二中学2023-2024学年高二上学期第一次月考数学试题（已下线）期末真题必刷压轴60题（23个考点专练）-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（人教A版2019选择性必修第一册）（已下线）期中测试卷02（测试范围：第10-11章+空间向量与立体几何）-2023-2024学年高二数学单元速记·巧练（沪教版2020必修第三册）（已下线）专题01 空间向量与立体几何（1）福建省漳州市云霄第一中学2023-2024学年高二下学期第一次月考数学试题（已下线）专题08 空间向量的运算及其应用6种常见考法归类 - 【考点通关】2023-2024学年高二数学高频考点与解题策略(人教B版2019选择性必修第一册)甘肃省酒泉市四校联考2023-2024学年高二下学期5月期中考试数学试题（已下线）专题03 空间向量及其应用全章复习攻略--高二期末考点大串讲（沪教版2020选修）第二章 平面向量及其应用 B卷 能力提升—2022-2023学年高一数学北师大版（2019）必修第二册
解题方法
8 . 如图，在正方体中，
，分别为棱
，
上一点，且
，点
在棱
上.
是否为定值
说明你的理由．
(2)若与平面
所成角的正弦值为
，求到底面的距离．
中，，分别为棱，上一点，且，点在棱上.
是否为定值说明你的理由．(2)若
与平面所成角的正弦值为，求到底面的距离．
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2022-09-29更新
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218次组卷
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3卷引用：湖北省襄阳市部分学校2022-2023学年高二上学期9月联考数学试题
9 . 如图，在三棱锥中，点
为棱上一点，且
，点
为线段
的中点．
为一组基底表示向量
；
(2)若
，
，
，求
．
中，点为棱上一点，且，点为线段的中点．
为一组基底表示向量；(2)若
，，，求．
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2022-07-22更新
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2944次组卷
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19卷引用：专题1.4 空间向量的数量积运算-重难点题型检测
（已下线）专题1.4 空间向量的数量积运算-重难点题型检测河南省周口市商水县实验高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题山东省枣庄市枣庄市第十六中学2022-2023学年高二上学期9月月考数学试题湖北省潜江市园林高级中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题（已下线）第一章 空间向量与立体几何（A卷·知识通关练）（1）安徽省芜湖市第一中学2022-2023学年高二上学期第一次阶段性诊断测试数学试题浙江省温州市苍南县金乡卫城中学2022-2023学年高二上学期10月第一次月考数学试题广东省佛山市南海区大沥高级中学2022-2023学年高二上学期第一次大测数学试题浙江市温州市第八高级中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学试题湖北省潜江市园林高级中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题广东省肇庆市端州中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（已下线）6.2.1空间向量基本定理（2）1.2 空间向量基本定理练习湖北省荆州市公安县第三中学2023-2024学年高二上学期入学考试数学试题广东省佛山市三水区三水中学2022-2023学年高二上学期第一次统考（10月）数学试题（已下线）1.2 空间向量基本定理(分层练习)-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）四川省遂宁市射洪绿然学校2023-2024学年高二上学期第一学月考试数学试题河南省地区联考2023-2024学年高二上学期豫选命题阶段性检测（一）数学试题上海市行知中学2023-2024学年高二上学期10月月考数学试题
21-22高二·湖南·课后作业
10 . 向量
，向量
与
共线，且
，求．
，向量与共线，且，求．
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