1 . 已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，．
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知直线与椭圆分别相交于、两点，且线段的中点为，若椭圆上存在点，满足，求椭圆的方程．

2 . 已知两个定点，，动点满足直线与直线的斜率之积为定值（）.
(1)求动点的轨迹方程，并说明随变化时，方程所表示的曲线的形状；
(2)若，设不经过原点的直线与曲线相交于，两点，直线，，的斜率分别为，，（其中），若，，恰好构成等比数列，求的值．

3 . 已知椭圆的左顶点和右顶点分别为和，椭圆的离心率为并且与直线相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)若,分别为上两点（不与,重合），若，求面积的取值范围.

4 . 已知双曲线：与圆的一个交点为.
(1)求双曲线E的方程；
(2)设点A为双曲线E的右顶点，点B，C为双曲线E上关于原点O对称的两点，且点B在第一象限，直线与直线交于点M，直线与双曲线E交于点D.设直线与的斜率分别为，，请问是否为定值?若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.

5 . 在平面直角坐标系中，动圆C经过定点，且与定直线l：相切．
(1)求动圆圆心C的轨迹方程；
(2)经过点F的直线与动圆圆心C的轨迹分别相交于A，B两点，点P在直线l上且BP∥x轴，求证：直线AP经过原点O．

6 . 已知抛物线：过点.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点的射线交抛物线于另一点，交准线于点，求的最大值.

7 . 过点作直线与抛物线相交于两点.
(1)若直线的斜率是1，求弦的长度；
(2)设原点为O，问：直线与直线的斜率之积是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说明理由.

8 . 已知椭圆过，两点，直线过点，且交椭圆于，两点，交轴于点，，．记的面积为．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)证明：为定值．
(3)求的取值范围．

9 . 已知椭圆：的离心率为，左、右焦点分别为，，为坐标原点，且．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知过点的直线与椭圆交于，两点，点，求证：．

10 . 已知椭圆的长轴长为4，椭圆上的点到焦点的距离的最大值为3．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)倾斜角为45°的直线l过椭圆的左焦点并交椭圆于M，N两点（O为坐标原点），求的面积．