名校
1 . （1）设
是坐标原点，且
不共线，求证：
；
（2）设
均为正数，且
.证明：
.
是坐标原点，且不共线，求证：；（2）设
均为正数，且.证明：.
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2019-05-04更新
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427次组卷
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2卷引用：【全国百强校】安徽省合肥一六八中学2018-2019学年高二第二学期期中考试理科数学试卷
解题方法
2 . 已知双曲线
的离心率为
，虚轴长为
．
(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：
的面积为定值．
的离心率为，虚轴长为．(1)求双曲线C的方程；
(2)若动直线l与双曲线C恰有1个公共点，且分别与双曲线C的两条渐近线交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：
的面积为定值．
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名校
3 . 设点
是抛物线外一点，过点向拋物线
引两条切线TM，TN，切点分别为M，N，焦点
，
(1)若点的坐标为
，证明：以TM为直径的圆过焦点；
(2)若点的坐标为
，证明：
．
是抛物线外一点，过点向拋物线引两条切线TM，TN，切点分别为M，N，焦点，(1)若点
的坐标为，证明：以TM为直径的圆过焦点；(2)若点
的坐标为，证明：．
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4 . 已知双曲线
：
的渐近线为
，焦距为
，直线
与的右支及渐近线的交点自上至下依次为
、
、
、
.
(1)求的方程；
(2)证明：
；
(3)求
的取值范围.
：的渐近线为，焦距为，直线与的右支及渐近线的交点自上至下依次为、、、.(1)求
的方程；(2)证明：
；(3)求
的取值范围.
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名校
解题方法
5 . 已知双曲线
的一条渐近线为
，其虚轴长为
为双曲线上任意一点．
(1)求双曲线的方程；
(2)求证：
到两条渐近线的距离之积为定值，并求出此定值；(3)若双曲线
的左顶点为
，右焦点为
，求
的最小值．
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2024-03-21更新
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395次组卷
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2卷引用：吉林省长春市朝阳区长春外国语学校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题
6 . 在平面直角坐标系
中，一动圆经过点
且与直线
相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K， P是曲线K上一点.
(1)当
时，求曲线K的轨迹方程;
(2)已知过点A 且斜率为k的直线l与曲线K交于B，C 两点，若
且直线
与直线
交于Q点.求证: 
为定值：
(3)若
且点 D，E在y轴上，
的内切圆的方程为
求面积的最小值.
中，一动圆经过点且与直线相切，设该动圆圆心的轨迹为曲线K， P是曲线K上一点.(1)当
时，求曲线K的轨迹方程;(2)已知过点A 且斜率为k的直线l与曲线K交于B，C 两点，若
且直线与直线交于Q点.求证: 为定值：(3)若
且点 D，E在y轴上，的内切圆的方程为求面积的最小值.
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名校
7 . 已知抛物线
的焦点为
，过点的直线与交于
两点，过作的切线
，交于点
，且与
轴分别交于点
.
(1)求证：
；
(2)设点是上异于的一点，到直线
的距离分别为
，求
的最小值.
的焦点为，过点的直线与交于两点，过作的切线，交于点，且与轴分别交于点.(1)求证：
；(2)设点
是上异于的一点，到直线的距离分别为，求的最小值.
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2024-04-01更新
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2039次组卷
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3卷引用：安徽省合肥市2024届高三第一次教学质量检查数学试题
解题方法
8 . 已知双曲线的离心率为
，其顶点到双曲线C的一条渐近线的距离为
．
(1)求双曲线C的标准方程：
(2)设
，
，D为AB的中点，作AB的平行线l交双曲线C于不同两点P，Q，直线
和
分别与双曲线C交于M，N两点，求证：M，N，D三点共线．
的离心率为，其顶点到双曲线C的一条渐近线的距离为．(1)求双曲线C的标准方程：
(2)设
，，D为AB的中点，作AB的平行线l交双曲线C于不同两点P，Q，直线和分别与双曲线C交于M，N两点，求证：M，N，D三点共线．
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名校
解题方法
9 . 三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的.下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角
的顶点为，在
的两边上截取
，连接
，在线段上取一点
，使得
，记
的中点为，以为中心，
为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，
为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线
在
内部），则
.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若
，点在轴的上方.的方程；
(2)若过点且与轴垂直的直线交轴于点
，点到直线
的距离为
.
证明：①
为定值；
②.
的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线左支交于点（射线在内部），则.在上述作法中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，若，点在轴的上方.
的方程；(2)若过点
且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为.证明：①
为定值；②
.
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2024-05-15更新
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486次组卷
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3卷引用：河北省唐县第一中学2024届高三下学期二模数学试题
名校
解题方法
10 . 已知抛物线
的焦点到双曲线
的渐近线的距离为
.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点任意作互相垂直的两条直线
，
分别交曲线于点A，B和M，N.设线段，
的中点分别为P，Q，求证：直线
恒过一个定点.
的焦点到双曲线的渐近线的距离为.(1)求抛物线
的方程；(2)过点
任意作互相垂直的两条直线，分别交曲线于点A，B和M，N.设线段，的中点分别为P，Q，求证：直线恒过一个定点.
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2024-01-16更新
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1251次组卷
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5卷引用：贵州省部分重点中学2024届高三上学期模拟数学试题
贵州省部分重点中学2024届高三上学期模拟数学试题广东省广州市第六中学2024届高三第三次调研数学试题（已下线）高考数学冲刺押题卷03（2024新题型）（已下线）题型24 5类圆锥曲线大题综合解题技巧（已下线）专题8.4 抛物线综合【八大题型】
