1 . 已知椭圆，过点，离心率.
求椭圆的方程．
过椭圆的左焦点的直线交椭圆于，两点，若在直线上存在点，使得为正三角形，求点的坐标．

2 . 已知椭圆的离心率为，点，分别是其下顶点和右焦点，坐标原点为，且的面积为．
（1）求椭圆的方程；
（2）是否存在直线，使得与椭圆相交于，两点，且点恰好为的垂心？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由．

3 . 已知椭圆的离心率，过右焦点且与轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为.

（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的左顶点，是椭圆上的不同两点（与不重合），直线 的斜率分别为，且，证明直线过一个定点，并求出这个定点的坐标.

4 . 已知椭圆经过点，且右焦点.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过且斜率存在的直线交椭圆于、两点，记，若的最大值和最小值分别为、，求的值.

5 . 已知为椭圆的左､右焦点，点为椭圆上一点，且
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若圆是以为直径的圆，直线与圆相切，并与椭圆交于不同的两点､，且，求的值

6 . 已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．

7 . 已知椭圆：的左焦点为，过点作轴的垂线与椭圆在第二象限的交点为．椭圆的左、右顶点分别为，，已知的面积为，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线与轴交于点，过点作直线与椭圆交于，两点，若．求直线的方程．

8 . 已知椭圆过，两点，直线交椭圆于，两点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若直线过点，是否存在常数，使得为定值，若存在，求的值及定值；若不存在，请说明理由.

9 . 已知椭圆的焦距为，过椭圆的焦点且与轴垂直的弦的长为1.

（1）求椭圆的方程；
（2）如图，是椭圆的右焦点，，(不在轴上)是椭圆上关于轴对称的两点，直线交椭圆于另一点，若是外接圆的圆心，求的最小值.

10 . 设椭圆，为原点，点是轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）直线与椭圆交于两个不同点、，已知关于轴的对称点为，关于原点的对称点为，若、满足，求证：直线经过定点．