1 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于，且分别是弦的中点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：直线过定点；
(3)求面积的最大值.

2 . 在平面直角坐标系中，动点Р到点的距离与到直线的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程；
(2)过作两条垂直直线，分别交曲线C于和，且分别为线段的中点，证明直线过定点，并求出定点的坐标.

3 . 设、分别是椭圆的左、右焦点，若_____，
请在以下两个条件中任选一个补充在横线上并作答．
①四点、、、中，恰有三点在椭圆上；
②椭圆经过点，与轴垂直，且．
（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）.
(1)求椭圆的离心率；
(2)设是椭圆的上顶点，过任作两条互相垂直的直线分别交椭圆于、两点，过点作线段的垂线，垂足为，判断在轴上是否存在定点，使得的长度为定值？并证明你的结论.

4 . 已知圆：和圆：，以动点为圆心的圆与其中一个圆外切，与另一个圆内切，记动点的轨迹为．
(1)求轨迹的方程；
(2)若斜率为的直线交轨迹于，两点，求的长度的最大值．

5 . 已知椭圆C：的长轴长是短轴长的倍，且经过点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)过左焦点作倾斜角为的直线l交椭圆于两点，求的面积．（O为原点）

6 . 已知椭圆C：的左、右焦点分别是，，且该椭圆过点．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若椭圆上的点满足，求的值．

8 . 已知椭圆过点，且离心率为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)设椭圆的左顶点为，上顶点为，已知直线平行于直线，且交椭圆于两点，若，求直线的方程．

9 . 已知的两个顶点分别为.
(1)若顶点C为，求BC边上的高所在直线的一般式方程；
(2)若的周长为14，求点C的轨迹方程.

10 . 已知椭圆的左右焦点分别为，短轴的两个顶点与构成面积为的正方形.
(1)求椭圆的方程；
(2)过点的直线与椭圆交于两点，轴上是否存在定点，使点到直线的距离与点到直线的距离相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．