1 . 如图，已知椭圆的离心率为，点在上.
   
(1)求的方程；
(2)设点关于原点对称点为为上异于的动点，直线分别交轴于两点，求的最小值.

2 . 已知椭圆的左､右顶点分别为为椭圆上任意一点（与不重合），直线和的斜率之积为，点在椭圆上．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点作斜率之和为1的两条直线分别与椭圆交于两点，直线是否过定点？若过定点，求出此定点；若不过定点，请说明理由．

3 . 已知椭圆的左，右焦点分别为，且与短轴的一个端点构成一个等腰直角三角形，点在椭圆上，过点作互相垂直且与轴不重合的两直线分别交椭圆于，且分别是弦的中点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求证：直线过定点；
(3)求面积的最大值.

4 . 椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆经过点且短轴长为2.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)过点且倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，求线段的长.

5 . 已知离心率为的椭圆C：过点，椭圆上有四个动点，与交于点.如图所示.   
   
(1)求曲线C的方程；
(2)当恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线与的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；
(3)若点的坐标为，求直线的斜率.

6 . 已知椭圆的焦距为，点在上．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆与直线相交于不同的两点、，为弦的中点，为椭圆的下顶点，当时，求的取值范围．

7 . 已知双曲线的一条渐近线方程为，且双曲线经过点.
(1)求双曲线的方程；
(2)过点且斜率不为0的直线与交于两点（与点不重合），直线分别与直线交于点，求的值.

8 . 已知椭圆经过点，其右焦点为.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)椭圆的右顶点为，若点在椭圆上，且满足直线与的斜率之积为，求面积的最大值.

9 . 已知椭圆C：的左右顶点分别为，，右焦点为，点在椭圆上.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)为椭圆上不与重合的任意一点，直线分别与直线相交于点，求证：.

10 . 已知椭圆的焦点为，且过点．
(1)求的方程；
(2)设为椭圆的右顶点，直线与椭圆交于两点，且均不是的左､右顶点，为的中点．若，试探究直线是否过定点？若过定点，求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．