1 . 已知双曲线的离心率，其一条准线方程为．

（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）如图，设双曲线的左右焦点分别为，点为该双曲线右支上一点，直线 与其左支 交于点，若，求实数的取值范围．

2 . 已知双曲线：和圆：（其中原点为圆心），过双曲线上一点引圆的两条切线，切点分别为、．
（1）若双曲线上存在点，使得，求双曲线离心率的取值范围；
（2）求直线的方程；
（3）求三角形面积的最大值．

3 . 已知，是，轴正方向的单位向量，设，且满足
（1）求点的轨迹的方程.
（2）若直线过点且法向量为，直线与轨迹交于，两点.点，无论直线绕点怎样转动，是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由．并求实数的取值范围

4 . 如图，，是双曲线的两个焦点，为坐标原点，圆是以为直径的圆，直线：与圆O相切，并与双曲线交于A、B两点．
（Ⅰ）根据条件求出b和k的关系式；
（Ⅱ）当时，求直线的方程；
（Ⅲ）当，且满足时，求面积的取值范围．

5 . 已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上一点，则最小值为____．

6 . 已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率．

（Ⅰ）求该双曲线的方程；
（Ⅱ）如图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标

7 . 已知双曲线，为上的任意点．
（1）求证：点到双曲线的两条渐近线的距离的乘积是一个常数；
（2）设点的坐标为，求的最小值.