1 . 如图，已知椭圆的两个焦点为，，且，的双曲线的顶点，双曲线的一条渐近线方程为，设P为该双曲线上异于顶点的任意一点，直线，的斜率分别为，，且直线和与椭圆的交点分别为A，B和C，D．

(1)求双曲线的标准方程；
(2)证明：直线，的斜率之积·为定值；
(3)求的取值范围．

2 . 已知双曲线的实轴长为2，直线为的一条渐近线．
(1)求的方程；
(2)若过左焦点的直线与交于两点，证明：以为直径的圆经过定点.

3 . 已知双曲线的右焦点为，左､右顶点分别为，且为上不与重合的一点，直线的斜率之积为3.
(1)求双曲线的方程；
(2)平面一点且不在上，过的两条直线分别交的右支于两点和两点，若四点在同一圆上，求直线的斜率与直线的斜率之和.

4 . 已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点.
(1)求点的轨迹的方程;
(2)若直线 (不与轴垂直) 与轨迹交于另一点关于轴的对称点为，求证: 直线过定点.

5 . 已知双曲线的离心率为，点在双曲线上．

(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的直线与曲线交于两点，问在轴上是否存在定点，使得为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．

6 . 如图所示，已知分别为双曲线的左､右顶点，为直线上的动点，若直线与的另一交点为，直线与的另一交点为点.

(1)设直线的斜率分别是，求证：为定值；
(2)求证：直线恒过定点，并求出定点坐标.

7 . 已知椭圆和双曲线，过椭圆左焦点且斜率为的直线交椭圆于，两点．设是椭圆的右顶点，记直线，的斜率分别为，，直线，与双曲线的另一个交点分别为，，．
(1)求的值；
(2)求证：直线过定点．

8 . 已知双曲线（，）经过点，渐近线经过点.
(1)求的方程；
(2)作直线与的两支分别交于点，，使得.求证：直线过定点.

9 . 已知椭圆，依次连接椭圆E的四个顶点构成的四边形面积为．
(1)若a=2，求椭圆E的标准方程；
(2)以椭圆E的右顶点为焦点的抛物线G，若G上动点M到点的最短距离为，求a的值；
(3)当时，设点F为椭圆E的右焦点，，直线l交E于P、Q（均不与点A重合）两点，直线l、AP、AQ的斜率分别为k、、，若，求的周长．

10 . 已知椭圆的方程为，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点．
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线有两个不同的交点和，且（其中为原点），求的范围；
(3)对于（2）中的点和，在轴上是否存在点使为等边三角形，若存在请求出的值；不存在则说明理由.