1 . 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为、，是双曲线C上一点，且.
(1)求双曲线C的方程；
(2)过点P作直线l与双曲线C的两条渐近线分别交于R、S两点.若点P恰为线段RS的中点，求直线l的方程；
(3)设斜率为-2的直线l与双曲线C交于A、B两点，点B关于坐标原点的对称点为D.若直线PA、PD的斜率均存在且分别为、，求证：为定值.

2 . 如图:双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交轴于点.

(1)当直线平行于的斜率大于的渐近线时，求直线与的距离；
(2)当直线的斜率为时，在的右支上是否存在点，满足?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由;

3 . 已知双曲线的实轴长为2，离心率为，圆的方程为，过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于，两点.

(1)求双曲线的方程；
(2)求证：；
(3)若直线与双曲线的两条渐近线的交点为，，且，求实数的范围.

4 . 已知双曲线的左､右顶点分别为，右焦点为，一条渐近线的倾斜角为的离心率为在上.
(1)求的方程；
(2)过的直线交于两点（在轴上方），直线分别交轴于点，判断（为坐标原点）是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由.

5 . 已知双曲线的右焦点为，双曲线与抛物线交于点.
(1)求的方程；
(2)作直线与的两支分别交于点，使得，求证：直线过定点.

6 . 已知圆M：的圆心为M，圆N：的圆心为N，一动圆与圆N内切，与圆M外切，动圆的圆心E的轨迹为曲线C．
(1)证明：曲线C为双曲线的一支；
(2)已知点，不经过点的直线与曲线C交于A，B两点，且．直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标：若不过定点，请说明理由．

9 . 已知双曲线C：的右顶点为M，过点的直线l交双曲线C于A，B两点，设直线MA的斜率为，直线MB的斜率为.
(1)求直线l斜率的取值范围；
(2)证明：为定值，并求出该定值；
(3)求的最大值.

10 . 已知点在双曲线上
(1)求双曲线的方程
(2)过点的互相垂直的两直线与轴分别交于点，求面积的最小值
(3)已知直线交双曲线于两点，且直线的斜率之和为0，求直线的斜率