1 . 已知双曲线的左顶点为，焦点到渐近线距离为．

(1)求双曲线E的标准方程；
(2)设双曲线E的右顶点为B，P为直线上的动点，连接PA，PB交双曲线于M，N两点（异于A，B），记直线MN与x轴的交点为Q；
①求证：Q为定点；
②直线MN交直线于点D，记．求证：为定值．

2 . 已知既是双曲线的两条渐近线，也是双曲线的渐近线，且双曲线的焦距是双曲线的焦距的倍．

(1)求双曲线的标准方程；
(2)任作一条平行于的直线依次与直线以及双曲线交于点，求的值；
(3)如图，为双曲线上任意一点，过点分别作的平行线交于两点，证明：的面积为定值，并求出该定值．

3 . 已知双曲线的中心为坐标原点，左，右焦点分别为，，且点在双曲线上．
(1)求双曲线的渐近线方程；
(2)点是直线上一点，点是双曲线上一点，且满足，记直线的斜率为，直线的斜率为，试证：为定值．

4 . 已知双曲线C：，A，B是C上关于坐标原点O对称的两点．
(1)若直线AB的斜率为，求．
(2)试问在直线上是否存在点P，使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及P的坐标；若不存在，请说明理由．

5 . 双曲线：的左顶点为，实轴长为2，过右焦点作垂直于实轴的直线交于，两点，且是直角三角形.
(1)求双曲线的方程；
(2)，是右支上的两点，设直线，的斜率分别是，，若.
①求证：直线恒过定点；
②求点到直线的距离的取值范围.

6 . 已知双曲线的离心率为2，焦点到渐近线的距离为.
(1)求的标准方程；
(2)设不与渐近线平行的动直线与双曲线有且只有一个公共点，且与直线相交于点，试探究：在焦点所在的坐标轴上是否存在定点，使得以为直径的圆恒过点？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.

8 . 在平面直角坐标系xOy中，已知动点M到点的距离是到直线的距离的．
(1)求点M的轨迹方程；
(2)设，直线与M的轨迹方程相交于两点，若直线与M的轨迹方程交于另一个点，证明：直线过定点．

9 . 已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线C的右顶点A在圆上，且．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)若过点的直线l交双曲线C的右支于E，F两点，Q为x轴上一点，满足；试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

10 . 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程.