1 . 在平面直角坐标系中，已知点到点的距离与到直线的距离之比为．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点且斜率为的直线与交于A，B两点，与轴交于点，线段AB的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围．

2 . 设椭圆的左右焦点，分别是双曲线的左右顶点，且椭圆的右顶点到双曲线的渐近线的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆恒有两个交点，且？若存在，写出该圆的方程，并求的取值范围，若不存在，说明理由.

3 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，焦距为2．
(1)求椭圆C的方程；
(2)动直线交椭圆于A、B两点，D是椭圆C上一点，直线OD的斜率为，且．T是线段OD延长线上一点，且，的半径为，OP，OQ是的两条切线，切点分别为P，Q，求的最大值．

4 . 如图，直线与椭圆相交于两点，且的中点为；

(1)求椭圆的离心率；
(2)若直线与椭圆相交于两点，求证：四点在同一个圆上．

5 . 已知圆，点，是圆上一动点，若线段的垂直平分线与线段相交于点．
(1)求点的轨迹方程；
(2)已知为点的轨迹上三个点（不在坐标轴上），且，求的值．

6 . 已知椭圆的上顶点为M､右顶点为N.(点O为坐标原点)的面积为1，直线被椭圆C所截得的线段长度为.
（1）椭圆C的标准方程；
（2）试判断椭圆C内是否存在圆，使得圆O的任意一条切线与椭圆C交于A，B两点时，满足为定值？若存在，求出圆O的方程；若不存在，请说明理由.

7 . 已知椭圆C的方程为，右焦点为，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设M，N是椭圆C上的两点，直线与曲线相切．证明：M，N，F三点共线的充要条件是．

8 . 已知椭圆：的短轴长为，离心率为.
（1）求椭圆的方程；
（2）求过椭圆的右焦点且倾斜角为135°的直线，被椭圆截得的弦长；
（3）若直线与椭圆相交于，两点（不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的右顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．

9 . 设椭圆的离心率为，且经过点.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与椭圆交两点，是坐标原点，分别过点作，的平行线，两平行线的交点刚好在椭圆上，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是，请说明理由.

10 . 椭圆的焦距是，长轴长是短轴长3倍，任作斜率为的直线与椭圆交于两点（如图所示），且点在直线的左上方.

（1）求椭圆的方程；
（2）若，求的面积；
（3）证明：的内切圆的圆心在一条定直线上．