1 . 设函数的定义域为，对于区间（，），若满足以下两条性质之一，则称为的一个“美好区间”.性质①：对任意，有；性质②：对任意，有.
(1)判断并证明区间是否为函数的“美好区间”；
(2)若（）是函数的“美好区间”，试求实数的取值范围；
(3)已知定义在上，且图像连续不断的函数满足：对任意（），有.求证：存在“美好区间”，且存在，使得不属于的任意一个“美好区间”.

2 . 已知定义在上的函数满足，且当时，.
(1)求的值，并证明为奇函数；
(2)求证在上是增函数；
(3)若，解关于的不等式.

3 . 已知函数.
(1)讨论函数的奇偶性（直接写出结论，无需证明）；
(2)若，求证：函数在区间上是增函数；
(3)若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.

4 . 定义在上的函数满足对任意的，都有，且当时，．
(1)求证：函数是奇函数；
(2)判断在上的单调性，不需证明；
(3)解不等式．

5 . 定义域和值域均为的函数满足：，当时，有.
（1）判断函数的奇偶性并证明；
（2）求证：在上单调递增.

6 . 已知函数：且.
（1）证明：对定义域内的所有都成立；
（2）当的定义域为时，求证：的值域为；
（3）设函数，求的最小值.

7 . 已知是定义在上的奇函数．
(1)求的值，指出的单调性（单调性无需证明）；
(2)若函数的图象可以由函数的图象通过平移得到，求函数的值域；
(3)若存在区间，使得函数在上的值域为，求的取值范围．

8 . 判断函数的单调性并证明

9 . 已知函数，．
(1)当时，求函数的单调递增区间（不必写明证明过程）；
(2)判断函数的奇偶性，并说明理由；
(3)当时，若对任意的，恒有成立，求的最大值．

10 . 已知定义域为的函数是奇函数.
(1)判断单调性，并用单调性的定义加以证明；
(2)若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围.