1 . 设点 是椭圆 上任意一点，过点 作椭圆的切线，与椭圆交于 两点.

(1)求证：;
(2)的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

2 . 已知抛物线，直线与抛物线交于不同的两点为坐标原点．
(1)若，求证：直线过定点；
(2)若直线的方程为，且与轴交于点，是否存在以为圆心、2为半径的圆，使得过抛物线上任意一点作圆的两条切线，与抛物线交于另外两点时，总有直线也与圆相切？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

3 . 设函数，，其中e是自然对数的底数．
(1)若曲线在处的切线与曲线相切，求a的值；
(2)若，求证：．

4 . 已知双曲线与点.
(1)求过点的弦，使得的中点为；
(2)在（1）的前提下，如果线段的垂直平分线与双曲线交于、两点，证明：、、、四点共圆.

5 . 在平面直角坐标系中，分别过点,的直线,的斜率之积为.
(1)求与的交点的轨迹方程；
(2)已知直线与直线交于点，线段的中点为，若点的坐标为，证明：点关于直线的对称点在上.

6 . 已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)设，求证：当时，恰有两个零点.

7 . 已知函数．
(1)当时，求的单调区间；
(2)若时，，求a的取值范围；
(3)对于任意，证明：．

8 . 已知函数.
(1)若过点可作曲线两条切线，求的取值范围；
(2)若有两个不同极值点.
①求的取值范围；
②当时，证明：.

9 . 已知函数．
(1)若恒成立，求实数的值；
(2)证明：．

10 . 已知函数．
(1)当时，求函数的极值；
(2)函数的图象与轴交于两点、且，证明：．