名校
解题方法
1 . 把抛物线
沿
轴向下平移得到抛物线
.
(1)当
时，过抛物线
上一点
作切线，交抛物线
于
，
两点，求证：
；
(2)抛物线上任意一点
向抛物线作两条切线，从左至右切点分别为
，
.直线
交从左至右分别为
，
两点.试判断
与
的大小关系，并证明.
沿轴向下平移得到抛物线.(1)当
时，过抛物线上一点作切线，交抛物线于，两点，求证：；(2)抛物线
上任意一点向抛物线作两条切线，从左至右切点分别为，.直线交从左至右分别为，两点.试判断与的大小关系，并证明.
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2 . 已知函数
，其中
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
，设
，
（ⅰ）证明：函数
在区间
内有唯一的一个零点；
（ⅱ）记（ⅰ）中的零点为
，求证：
．
，其中．(1)讨论
的单调性；(2)若
，设，（ⅰ）证明：函数
在区间内有唯一的一个零点；（ⅱ）记（ⅰ）中的零点为
，求证：．
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名校
解题方法
3 . 已知函数f(x)
，g(x)＝lnx－1，其中e为自然对数的底数．
（1）当x＞0时，求证：f(x)≥g(x)＋2；
（2）是否存在直线与函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．
，g(x)＝lnx－1，其中e为自然对数的底数．（1）当x＞0时，求证：f(x)≥g(x)＋2；
（2）是否存在直线与函数y＝f(x)及y＝g(x)的图象均相切？若存在，这样的直线最多有几条？并给出证明．若不存在，请说明理由．
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2021-09-12更新
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888次组卷
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9卷引用：四川省南充高级中学2021-2022学年高三上学期月考四数学（理）试题
四川省南充高级中学2021-2022学年高三上学期月考四数学（理）试题江苏省南通市海安市2021-2022学年高三上学期期初学业质量监测数学试题宁夏银川一中2022届高三上学期第二次月考数学（理）试题陕西省西安中学2021-2022学年高三上学期期中理科数学试题（已下线）专题36 盘点导数与函数零点的交汇问题—备战2022年高考数学二轮复习常考点专题突破重庆市南开中学校2023届高三上学期期末数学试题江苏省南通市海安高级中学2022-2023学年高二下学期期中数学试题重庆市荣昌中学校2024届高三上学期第一次月考数学试题福建省泉州市泉港区第一中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题
名校
4 . 设l为曲线C：
在点
处的切线.
（1）求l的方程；
（2）证明：除切点之外，曲线C在直线l的下方；
（3）求证：
（其中
，
）.
在点处的切线.（1）求l的方程；
（2）证明：除切点
之外，曲线C在直线l的下方；（3）求证：
（其中，）.
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2020-03-05更新
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929次组卷
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2卷引用：四川省成都市第七中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理）试题
名校
5 . 已知函数
，其中．
（Ⅰ）讨论
的单调性；
（Ⅱ）当
时，证明：
；
（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有
（其中e≈2.7183为自然对数的底数）
，其中．（Ⅰ）讨论
的单调性；（Ⅱ）当
时，证明：；（Ⅲ）求证：对任意正整数n，都有
（其中e≈2.7183为自然对数的底数）
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2019-01-12更新
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4093次组卷
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10卷引用：【全国百强校】四川省成都市成都外国语学校2018-2019学年高二下学期期中考试文科数学试题
【全国百强校】四川省成都市成都外国语学校2018-2019学年高二下学期期中考试文科数学试题四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（理）试题四川省宜宾市第四中学校2019-2020学年高二下学期期中考试数学（文）试题【区级联考】天津市蓟州等部分区2019届高三上学期期末联考数学（文）试题【区级联考】天津市部分区2019届高三（上）期末数学（文科）试题【全国百强校】河北省武邑中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学(文）试题江西省五市八校2019-2020学年高三第二次联考文科数学试题湖北省武汉二中2019-2020学年高二下学期4月第二次线上测试数学试题广东省佛山市三水区三水中学2019-2020学年高二下学期第二次统考数学试题黑龙江省大庆实验中学2019届高三普通高等学校招生全国统一考试文科数学模拟试题
名校
6 . 已知函数
.
（Ⅰ）（ⅰ）求证：
；
（ⅱ）设
，当
时，求实数
的取值范围；
（Ⅱ）当
时，过原点分别作曲线
与
的切线
，已知两切线的斜率互为倒数，证明：
.
.（Ⅰ）（ⅰ）求证：
；（ⅱ）设
，当时，求实数的取值范围；（Ⅱ）当
时，过原点分别作曲线与的切线，已知两切线的斜率互为倒数，证明：.
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2019-03-18更新
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1142次组卷
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6卷引用：四川省成都市石室中学2021-2022学年高三专家联测卷（四）数学（理）试题
四川省成都市石室中学2021-2022学年高三专家联测卷（四）数学（理）试题天津市耀华中学2019届高三第二次月考数学试题江苏省常州市前黄中学2019-2020学年高二下学期第一次调研考试数学试题（已下线）专题4.4 导数的综合应用（练）-2021年新高考数学一轮复习讲练测（已下线）专题05 导数在切线中的相关运用-3（已下线）专题3.4 导数的综合应用-《2020年高考一轮复习讲练测》（浙江版）（练）
解题方法
7 . 已知函数
，其中自然常数
．
(1)若
是函数的极值点，求实数的值；
(2)当
时，设函数的两个极值点为
，且
，求证：
．
，其中自然常数．(1)若
是函数的极值点，求实数的值；(2)当
时，设函数的两个极值点为，且，求证：．
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名校
8 . 已知函数
，
.
(1)若，求证：当
时，
恒成立；
(2)若方程
有两个不同的根，求实数的取值范围.
，.(1)若
，求证：当时，恒成立；(2)若方程
有两个不同的根，求实数的取值范围.
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解题方法
9 . 已知定点
，定直线
，动点在曲线
上.
(1)设曲线的离心率为
，点
到直线
的距离为
，求证：
；
(2)设过定点的动直线与曲线相交于
两点，过点
与直线垂直的直线与相交于点
，直线
是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
，定直线，动点在曲线上.(1)设曲线
的离心率为，点到直线的距离为，求证：；(2)设过定点
的动直线与曲线相交于两点，过点与直线垂直的直线与相交于点，直线是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
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2024-03-01更新
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417次组卷
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3卷引用：四川省大数据精准教学联盟2024届高三第一次统一监测理科数学试题
，
连线的斜率之积为3．
的直线与轨迹
与
交于点
