1 . 已知函数，且的极值点为.
(1)求；
(2)证明：；
(3)若函数有两个不同的零点，证明：.

2 . 已知，函数，.

(1)判断函数在上的单调性；
(2)是否存在实数，使曲线在点处的切线与轴垂直？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．

3 . 已知函数是的导函数，.
(1)求的单调区间；
(2)若有唯一零点.
①求实数的取值范围；
②当时，证明：.

4 . 在数列中，若存在常数，使得恒成立，则称数列为“数列”．
(1)若，试判断数列是否为“数列”，请说明理由；
(2)若数列为“数列”，且，数列为等比数列，且，求数列的通项公式；
(3)若正项数列为“数列”，且，，证明：．

5 . 已知函数，.

(1)求函数在上的最值；
(2)若，求证：函数的图象上总存在位于直线下方的点.

6 . 已知函数.
(1)求函数在点处的切线方程；
(2)若，证明：当时，；
(3)若在有两个零点，求a的取值范围.

7 . 已知直线与函数的图象相切.
(1)求的值；
(2)求函数的极大值.

8 . 已知函数，则（       ）

A．有且只有一个极值点

B．在上单调递增

C．不存在实数，使得

D．有最小值

9 . 对三次函数，如果其存在三个实根，则有.称为三次方程根与系数关系.

(1)试讨论函数的单调性.
(2)对三次函数，设，存在，满足.证明：存在，使得；
(3)称是上的广义正弦函数当且仅当存在极值点，使得.在平面直角坐标系中，是第一象限上一点，设.已知在上有两根.

（i）证明：在上存在两个极值点的充要条件是；

（ii）求点组成的点集，满足是上的广义正弦函数.

10 . 已知函数的表达式为．
(1)当时，证明；
(2)当时，讨论函数的单调性；
(3)若对恒成立，求实数a的取值范围．