1 . 已知函数的最小值为.
(1)求实数的值；
(2)将图象上所有点向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若在上有两个不同的解，求实数的取值范围．

2 . 已知为锐角，且，.求：
(1)的值；
(2)的值．

3 . 已知在数列中，，点，在直线上.
(1)求数列的通项公式．
(2)设，为数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得（，且）恒成立？若存在，写出的表达式，并加以证明；若不存在，请说明理由．

4 . 已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使得它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列．
(1)求数列的前项和；
(2)若，，，是从中抽取的若干项按原来的顺序排列组成的一个等比数列，，，令，求数列的前项和.

5 . 已知在数列中，.
(1)求数列 的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前2 024项和.

6 . 记为数列的前n项和．已知.
(1)求证：是等差数列；
(2)若是，的等比中项，求的最小值．

7 . 如图，已知在四棱锥中，底面为矩形，平面．

(1)若直线与的夹角为，求的长；
(2)若，四棱锥的体积为，求证：平面⊥平面．

8 . 已知椭圆的长轴长为4，一个焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交于两点，使得，求证：直线恒过一定点．

9 . 设为椭圆的左、右焦点，直线l过交椭圆于A，B两点．试从① 若点M，N在该椭圆上且关于原点对称，P为该椭圆上异于M，N的一点，且；②的周长为8；③的最小值为8这三个条件中选择一个作为已知条件，并解答问题．
(1)求椭圆的标准方程．
(2)是否存在直线l，使得的重心为？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．

10 . 已知a、b、c、d均为正数，且．
(1)证明:若，则;
(2)若，求实数 t 的取值范围．