1 . 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若
是
的导函数，
是的导函数，则曲线
在点
处的曲率为
(1)已知函数
，
①求函数在点
处的曲率的平方
；
②求函数的曲率
的最大值．
(2)函数
，若
在两个不同的点处曲率为0，求实数
的取值范围．
是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率为(1)已知函数
，①求函数
在点处的曲率的平方；②求函数
的曲率的最大值．(2)函数
，若在两个不同的点处曲率为0，求实数的取值范围．
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2 . 已知关于
的不等式
恒成立，
的最小值为，则
的最小值为______ .（其中
为自然对数的底数）
的不等式恒成立，的最小值为，则的最小值为为自然对数的底数）
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3 . 设
是自然对数的底数，则（ ）
是自然对数的底数，则（ ）A． | B． |
C． | D． |
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4 . 已知函数
的定义域是R，的导函数为
，且
，
，若为偶函数，则下列说法中错误的是（ ）
的定义域是R，的导函数为，且，，若为偶函数，则下列说法中错误的是（ ）A． |
B． |
C．若存在 使在 上严格增，在 上严格减，则2024是的极小值点 |
| D．若为偶函数，则满足题意的唯一，不唯一 |
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5 . 罗尔定理是高等代数中微积分的三大定理之一，它与导数和函数的零点有关，是由法国数学家米歇尔·罗尔于1691年提出的．它的表达如下：如果函数
满足在闭区间
连续，在开区间
内可导，且
，那么在区间内至少存在一点，使得
．
(1)运用罗尔定理证明：若函数在区间
连续，在区间上可导，则存在
，使得
．
(2)已知函数
，若对于区间
内任意两个不相等的实数
，都有
成立，求实数
的取值范围．
(3)证明：当
时，有
．
满足在闭区间连续，在开区间内可导，且，那么在区间内至少存在一点，使得．(1)运用罗尔定理证明：若函数
在区间连续，在区间上可导，则存在，使得．(2)已知函数
，若对于区间内任意两个不相等的实数，都有成立，求实数的取值范围．(3)证明：当
时，有．
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6 . 已知函数
有两个极值点
，则的取值范围为________ ；若函数
有两个极值点
，则
的取值范围是________ ．
有两个极值点，则的取值范围为有两个极值点，则的取值范围是
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7 . 已知函数
，其中自然常数
．
(1)若
是函数的极值点，求实数的值；
(2)当
时，设函数的两个极值点为，且
，求证：
．
，其中自然常数．(1)若
是函数的极值点，求实数的值；(2)当
时，设函数的两个极值点为，且，求证：．
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8 . 已知函数
，
.
(1)讨论函数的单调性；
(2)当
时，若对任意的
，都有
成立，求实数
的取值范围.
，.(1)讨论函数
的单调性；(2)当
时，若对任意的，都有成立，求实数的取值范围.
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9 . 已知函数
(1)当
时，求函数的单调区间；
(2)若对
，
恒成立，求实数的取值范围.
(1)当
时，求函数的单调区间；(2)若对
，恒成立，求实数的取值范围.
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10 . 若函数 
在区间 
上单调递增， 则 
的最小值为________ .
在区间 上单调递增， 则 的最小值为
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