1 . 意大利画家达芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，定义双曲正弦函数，类比三角函数的性质可得双曲正弦函数和双曲余弦函数有如下性质①平方关系：，②倍元关系：.
(1)求曲线在处的切线斜率；
(2)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围：
(3)（i）证明：当时，；
（ii）证明：.

2 . 已知函数.
(1)判断的单调性;
(2)证明:.

3 . 已知函数．
(1)证明：时，恒成立；
(2)证明：（且）．

4 . 若恒成立，求正实数m的取值范围.

5 . 若对任意，不等式恒成立，则正整数的最大值是（     ）

A．2

B．3

C．4

D．5

6 . 英国数学家泰勒发现了如下公式：，其中，为自然对数的底数，．以上公式称为泰勒公式．设，，根据以上信息，并结合高中所学的数学知识，解决如下问题：
(1)证明：；
(2)设，证明：；
(3)设实数使得对恒成立，求的最大值．

7 . 已知函数．
(1)若对任意恒成立，求实数的取值集合；
(2)若有两个不同的零点，求证：．

8 . 已知函数．
(1)求函数的极值；
(2)若，恒成立，求实数a的取值范围．

9 . 已知函数．
(1)若函数，，讨论函数的单调性；
(2)若不等式恒成立，求实数b的取值范围．

10 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求实数a的取值范围．