1 . 已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为的同一个球的球面上，则该圆柱体积的最大值为__________.

2 . 现有一个帐篷，它下部分的形状是高为1m的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如图所示）．当帐篷的体积最大时，求帐篷的顶点O到底面中心的距离．

3 . 如图，由，，围成的曲边三角形，在曲线弧上求一点，使得过所作的的切线与，围成的的面积最大，并求得最大值.

4 . 观察实际情景，提出并分析问题
（1）实际情景
双十—就要到了，那时候大家都很忙，卖家搞促销，想赚更多的钱，买家想货比三家，买到物美价廉的商品，在这个交易过程中，快递不可或缺，你们有没有发现，商品都会被形形色色的盒子所包装，对于快递公司而言，包装同一个商品，用的材料越少越好，而给你一张硬纸片﹐制作出的盒子当然体积越大越好，这样制作非常环保．
（2）提出问题
一个边长为定值的正方形纸片按某种方式裁剪，做成一个无盖的方底纸盒，当盒底边长与高分别为多少时，盒子容积最大?最大容积是多少?
（3）分析问题
容积的计算依据裁剪的方法，由学生根据自己所学知识确定裁剪方法，确定剪裁方法后，我们可以通过长度关系，用未知数表示盒子容积，根据函数单调性求得容积最大时的相应的裁剪方法．
2．收集数据
现有一个面积为平方厘米的正方形纸板．
3．剪裁过程
裁剪方案1：去除如阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得正方形的四个点重合于图中的点，正好形成一个长方体形状的包装盒．

裁剪方案2：如图所示，先在正方形的相邻两个角各切去边长为的正方形，然后在余下两角处各切去一个长、宽分别为、的矩形，再将剩余部分沿图中的虚线折起．

4．问题解决
裁剪方案1：设包装盒的高为，底面边长为，
则，，，
所以，；
可得，
当时，；当时，，
所以函数在上递增，在上递减，
当时，取得极大值也是最大值：．
所以当时，包装盒的容积最大是．
裁剪方案2：因为包装盒高，底面矩形的长为，宽为，
所以包装盒的容积为，
函数的定义域为．
，
令，解得，
∴当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递减，
∴当时，函数取得极大值，也是函数的最大值，
所以．
比较两种模型，故选择裁剪方案1．
5．检验模型
两种最值的计算都是依据给定的裁剪方法，可能会有其他的裁剪方法，求得的容积可能会更大．
6．延伸拓展
请同学们集思广益，研究一下是否有其他裁剪方法，并计算出相应的容积的最大值．

7 . 用总长的钢条制作一个长方体容器的框架，若容器底面的长比宽多，要使它的容积最大，则容器底面的宽为___________.

8 . 如图是一边长为单位：的正方形铁片，现沿虚线将铁片的四角截去四个边长均为单位：的小正方形，做成一个无盖方盒，则该方盒容积的最大值为 ___________.

9 . 一个箱子的容积与底面边长x的关系为，则当箱子的容积最大时，______．

10 . 圆柱内接于半径为3的球，当圆柱体积最大时其底面半径为______．