1 . 学习了等腰三角形后，数学兴趣小组的小聪和小明对它进行了拓展性研究，小聪发现：在一个锐角三角形中，如果有两条边上的高相等，那么这个锐角三角形是等腰三角形，小聪的解决思路是通过证明两条高所在的两个三角形全等，从而得出结论，请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，过点B作的垂线交于点E，交边上的高于点P．（只保留作图痕迹）
已知：如图，在锐角中，，且，求证：．

   

证明：∵，，
①      ．
在与中，，
，
∴      ③      ，
∴，即是等腰三角形．
小明再进一步研究发现，任意三角形中均有此结论．请你依照题意完成下面命题：
在一个三角形中，如果有两条边上的高相等，那么④      ．

2 . 如图，在矩形中，，点是的中点，连接，点是上的点，过点作交于点，点关于的对称点为点，连接、，分别交于点，若，则四边形的面积为____________．
   

3 . 【问题提出】如图①，已知线段，点P是内一定点，请过点P作的弦AB，使（要求：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
【问题联想】（1）在数学活动小组讨论过程中，小明联想到教科书上的例题：
如图②，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦切小圆于点P．与相等吗？为什么？
【问题解决】（2）你能解决【问题提出】中的问题吗？

   

4 . 问题探究

（1）如图①，在中，点是上一点，且，若的面积为，则的面积为______；（用含的式子表示）
（2）如图②，在四边形中，连接，，，点之间的距离为，求四边形面积的最大值；
问题解决
（3）为建设美丽西安，某地规划了如图③所示的四边形观光区，其中，，，，点是的中点，点是上一点，，与是两条装饰灯带且夹角为（即），为容纳更多的观光者，要求四边形的面积最大，请问四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出四边形面积的最大值，若不存在，请说明理由．

5 . 过射线上一点分别向的两边作垂线，得到垂线段与，若垂线段，则可以得到一对全等三角形，为了证明，运用到的全等三角形判定定理是（       ）

A．

B．

C．

D．

6 . 如图，以直角的每一条边为边长，在AB的同侧作三个正方形，各个涂色部分分别用①、②、③、④、⑤表示，已知②、④两部分的面积和为，则③、⑤两部分的面积和为（       ）．

A．8

B．9

C．10

D．11

7 . 如图1，四边形中，，，平分．

(1)求证：．
(2)如图2，平分交于点．
①若，，求的长；
②如图3，若是的中点，连结，，若，求的长．

8 . 如图，是的外接圆，，连接，延长交于点，交于点．

(1)的度数为       度，写出图中一对全等的三角形：          ；
(2)求证：；
(3)若，试求的度数．

9 . 直角坐标平面内，有一条曲线，曲线上任意一点的坐标满足方程，平面内，还有一条直线，一个点．

(1)如图1，过曲线上任意一点，作直线的垂线段，垂足为，求证：；
(2)如图2，动直线为与曲线相交于、两点，过、两点分别作直线的垂线段，垂足分别、，作的平分线，交直线于，连接，求证：平分；
(3)如图3，是曲线上一动点，是曲线外部一点，是直线上一动点，直接写出的最小值．

10 . 综合与实践

数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，E，F分别是上的两点，连接交于点P．     已知，求证：． 甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得．

完成任务：
（1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”）
【发现问题】
同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．

   

【迁移探究】
在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．
甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．
甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立．
（2）①在图2中，已知，求证：；
②在图3中，若，则的度数为________．
【拓展应用】
（3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长．