2 . [问题情境]
（1）王老师给爱好学习的小明和小颖提出这样一个问题：如图，在中，，为边上的任一点，过点作，，垂足分别为，，过点作，垂足为．求证：．
小明的证明思路是：
如图，连接，由与面积之和等于的面积可以证得：．
小颖的证明思路是：
如图，过点作，垂足为，可以证得：，，则．请你选择小明、小颖两种证明思路中的任意一种，写出详细的证明过程．
[变式探究]
（2）如图，当点在延长线上时，问题情境中，其余条件不变，求证：．     
        
[结论运用]
（3）如图，将矩形沿折叠，使点落在点上，点落在点处，点为折痕上的任一点，过点作，，垂足分别为，，若，，求的值．
[迁移拓展]
（4）图是一个机器模型的截面示意图，在四边形中，为边上的一点，，，垂足分别为，，且，，，，、分别为，的中点，连接，，请直接写出与的周长之和．

3 . 爱动脑筋的小李同学在学习完角平分线的性质后意犹未尽，经过思考发现里面还有一个有趣的结论：

(1)【问题发现】如图1所示，若是的角平分线，可得到结论：．
小李的解法如下：过点D作于点E，于点F，过点A作于点G，
∵是的角平分线，且，，
∴                ．
∵，，
∴；
(2)【类比探究】如图2所示，若是的外角平分线，与的延长线交于点D．求证：；
(3)【直接应用】如图3所示，在中，，是的平分线，且交于D，若，，请利用小李的方法在不添加辅助线的情况下求出；
(4)【拓展应用】如图4所示，在中，，，，将先沿的平分线折叠，B点刚好落在上的E点，剪掉重叠部分（即四边形），再将余下部分（）沿的平分线折叠，再剪掉重叠部分（即四边形），直接写出剩余部分的面积为        ．

4 . 如图1，在四边形中，，，，连接．求证：．

(1)【思维探究】小明的思路是：延长到点，使，连接．根据，推得，从而得到，然后证明，从而可证，请你帮助小明写出完整的证明过程．
(2)【思维延伸】如图2，四边形中，，，连接，猜想，之间的数量关系，并说明理由．
(3)【思维拓展】在四边形中，，，与相交于点．若四边形中有一个内角是，请直接写出线段的长．

6 . 问题情境：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：
如图1，在正方形中，点分别在边上，且，垂足为M．那么与相等吗？

            

（1）直接判断：___________（填“”或“”）；
在“问题情境”的基础上，继续探索：
问题探究：
（2）如图2，在正方形中，点分别在边和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论；
问题拓展：
（3）如图3，在（2）的条件下，当在正方形的对角线上时，连接，将沿着翻折，点落在点处．
①四边形是正方形吗？请说明理由；
②若，如图4，点在上，且，直接写出的最小值为__________．

7 . 综合与实践：
问题情境：如图1，在矩形中，，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，使得点落在的延长线上，分别交，于点和点．
初步探究：（1）的形状是 　　；
深入探究：（2）如图2，延长交于点，延长交于点，请判断与的数量关系，并说明理由；
拓展延伸：（3）如图3，将矩形【详解】
沿射线方向平移得到矩形，当点落在上时，延长交于点，请直接写出四边形的面积．

10 . 在中，，．

【问题提出】
（1）如图1，点D为边上一点，过D作于E点，连接，F为的中点，连接，，，则的形状是      ；
【问题探究】
（2）如图2，将图1中的绕点B按逆时针方向旋转，使点D落在边上，F为AD的中点，试判断的形状并说明理由；
【拓展延伸】
（3）在（2）的条件下，若，，将绕点B按逆时针方向旋转，当点D在线段上时，直接写出线段的长      （用含m的式子表示）．