1 . 综合与实践

【问题发现】在学习了“特殊平行四边形”后，数学兴趣小组的同学发现了这样一个问题：如图1，已知正方形，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接．
通过观察图形，数学兴趣小组的同学进行了如下猜想：
猜想①：；
猜想②：；
猜想③：点E在上运动的过程中，四边形的面积不变．
（1）上述猜想中正确的有______（填序号）．
【类比探究】
（2）兴趣小组的同学在探究了正方形中的结论后，将正方形换成矩形继续探究．
如图2，已知矩形，，，E为对角线上一动点，过点C作垂直于的射线，点F在射线上，且，连接．
①请判断线段与的数量关系，并说明理由；
②点E在上运动时，四边形的面积______（填“不变”或“改变”）．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，点E在对角线上运动，当四边形为轴对称图形时，请直接写出线段的长．

3 . 李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的，联系的，发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“矩形的折叠”主题下设计的问题，请你解答．
如图，将矩形纸片折叠，折痕分别交于点，点的对应点为，点的对应点为．

(1)观察发现
如图1，若点与点重合，则四边形的形状为     ．
(2)探究迁移
如图2，，连接，，，求的值．
(3)拓展应用
若，，点的对应点落在边上，求线段的长的取值范围．

4 . 【探究发现】如图，矩形所在平面内有一点．连接．
（1）①当点与矩形对角线交点重合时（如图1），显然有；
②当点落在边上时（如图2），且，则______；通过计算，发现并猜想的关系：______．
（2）当点在矩形内部（如图3），是否仍存在你所猜想的结论？
【直接运用】如图4，矩形外有一点，且．

①．求证：；
②．若，则______．
【拓展应用】如图5，，点在边上运动，若，求的值．

6 . 综合与实践
【问题情境】
在综合实践课上，老师让同学们以“等腰直角三角形的旋转变换”为主题展开数学活动．和均为等腰直角三角形，，将和的直角顶点A与F重合，再将绕点A旋转．
【解决问题】
（1）“勤奋小组”将和按图①所示的方式摆放，连接，发现，请给予证明；

（2）“智慧小组”先连接，然后将旋转至点B，D，E在同一直线上，如图②，则的度数为______；
（3）“创新小组”同样先连接，在旋转过程中发现，当点D落在线段上时，如图③，可以得到，请你证明他们的发现；
【拓展探究】
（4）“攀登小组”将旋转至图④所示的位置，连接相交于点P，连接．求证：平分．

9 . 综合与实践
问题情境：数学活动课上，老师将两个具有公共顶点的全等三角形按图1所示摆放，，，，．老师让各小组在此基础上展开探究．

初步探究：（1）勤奋小组将图1中的延长，分别交于点O和点F，试判断与的数量关系并说明理由；
深入探究：（2）善思小组固定，将绕点B逆时针旋转，如图2，当时，与相交于点P，过点P作于点Q，试判断与的数量关系并说明理由；
拓展延伸：（3）创新小组将图1中的绕点B逆时针旋转，如图3，当时，与相交于点M，过点M作于点N．若，，请直接写出的长．