2 . 根据项目素材，探索解决问题．

项目主题	如何剪出直角三角形的完美线？
项目背景	新课标（2022版）要求学校教育要坚持“立德树人”，实施“跨学科学习、项目式学习”．在学习完特殊的平行四边形后，某校组织了该次项目式学习．
项目素材	在直角三角形中，过直角顶点剪一刀，剪痕将直角分成两个锐角，若这两个锐角分别等于此直角三角形中的另外两个内角，则称这条剪痕为直角三角形的“完美线”．
问题解决
项目一 操作	如图，有一张直角三角形纸片，，，图1中的是完美线，请在图2中画出与图1不相同的“完美线”剪法，并标出两个锐角的度数．
项目二 探究	如图，在直角三角形纸片中，，过点C剪一刀，剪痕与交于点D．你发现满足什么条件时，是直角三角形的“完美线”，请说明理由．
项目三 拓展	在中，，，，的“完美线”与交于点D，将沿“完美线”翻折得到，求的长度．

3 . 如图1，已知在中，．

(1)基础巩固：如图1，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接，则与之间的数量关系是      ；
(2)拓展探究：如图2，点D，E分别是，的中点，连接，将绕点C按顺时针方向旋转得到．
①求证：；
②用等式表示与间的数量关系，并说明理由：
(3)问题解决：点D，E分别是，的中点，连接，将绕点C旋转得到，请直接写出点A，M，N在同一直线上时的长．

4 . （1）发现：如图①所示，在正方形中，为边上一点，将沿翻折到处，延长交边于点．求证：；
（2）探究：如图②，在矩形中，为边上一点，且，，将沿翻折到处，延长交边于点，延长交边于点，且，求的长．
（3）拓展：如图③，在菱形中，，为边上的三等分点，，将沿翻折得到，直线交于点，直接写出的长为         ．

5 . 【阅读理解】如图1，在矩形中，若，，则________（用含a、b的式子表示）；
【探究发现】如图2，小华发现在平行四边形中，若，，则上述结论依然成立，请你跟随小华的思路，帮他继续完成证明过程．
证明：如图3，延长，过点B、点C分别作于点E，于点F．
在中，且，
，
．
．
设，．
……
________（请继续完成以上证明）
【拓展提升】如图4，已知为的一条中线，，，．
求证：．
【尝试应用】如图5，在矩形中，若，，点P在边上，则的取值范围为________．

6 . 综合与实践
问题情境：活动课上，同学们以三角形为背景探究图形变化中的数学问题，如图，中，，，，将从图的位置开始绕点顺时针旋转得到（点，的对应点分别为点，），旋转角为
操作思考：

（1）“实验”小组画出了点恰好落在边上时的图形．连接，如图．试判断的形状，并说明理由：

（2）“求知”小组经过探究发现所在的直线与所在的直线始终垂直，在图中，作直线，于点，请补全图形并证明上述结论；
拓展探究：

（3）“博学”小组继续思考：在整个旋转过程中，若在直线恰好经过的一个顶点，直接写出此时的长度为                 

7 . 【问题提出】
如图1，在矩形中，点在上，且，动点以每秒1个单位的速度从点出发，在折线段上运动，连接，当时停止运动，过点作，交矩形的边于点，连接．设动点的运动路程为，线段与矩形的边围成的三角形的面积为．
【初步感知】
如图2，动点由点向点运动的过程中，经探究发现是关于的二次函数，如图2所示，抛物线顶点的坐标为，与轴的交点的坐标为，与轴的交点为点．
（1）求矩形的边和的长；
【深入探究】
（2）点由点向终点运动的过程中，求关于的函数表达式；
【拓展延伸】
（3）是否存在3个路程，，，当时，3个路程对应的面积均相等．

8 . （1）发现问题：

如图（1），在正方形中，若点，分别是边，边上的动点（均不与端点重合），且，试判断，，之间的数量关系．小明把绕点顺时针旋转得到，发现，请你给出证明过程；
（2）类比探究：
如图（2），在正方形中，若点，分别是边，延长线上的动点，且，则（1）中的结论还成立吗？请写出证明过程．
（3）拓展应用：
在（1）中，若正方形的边长为6，，求的长．

10 . 综合与实践
正方形中，为对角线，点P在线段上运动，以为边作正方形，连接；
[初步探究]
（1）如图1，当点P在线段上时，与的数量关系是________；与的位置关系为________；，，三者的数量关系为．
[探索发现]
（2）当点P在线段延长线上运动时，如图2，探究线段，和三者之间数量关系，并说明理由．
[拓展延伸]
（3）如图③，连接AE，若，，则的长为________．