1 . 如图，A､B是单位圆上的相异两定点（O为圆心），且（为锐角）.点C为单位圆上的动点，线段交线段于点.
   
(1)求（结果用表示）；
(2)若
①求的取值范围：
②设，求的取值范围.

2 . 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．AD为BC边上的中线，点E，F分别为边AB，AC上动点，EF交AD于．已知，且．
   
(1)求边的长度；
(2)若，求的余弦值；
(3)在（2）的条件下，若，求的取值范围．

3 . 设△ABC外心为O，重心为G．取点H，使．求证：
(1)H是△ABC的垂心；
(2)O，G，H三点共线，且OG：GH=1：2．

4 . 如图，在中，，点是上一点，与交于点，且，记.

      

(1)若，求实数的值；
(2)若，求证：；
(3)在（2）的条件下，求的最大值.

5 . 已知H是内的一点，．
(1)若H是的外心，求∠BAC；
(2)若H是的垂心，求∠BAC的余弦值．

6 . 对于数集，其中，．定义向量集．若对于任意，存在，使得，则称X具有性质P．
(1)已知数集，请你写出数集对应的向量集，是否具有性质P？
(2)若，且具有性质P，求x的值；
(3)若X具有性质P，求证：，且当时，．

7 . 已知中，，，，Q是边AB（含端点）上的动点.
   
(1)若，O点为AP与CQ的交点，请用，表示；
(2)若点Q使得，求的取值范围及的最大值.

8 . 如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，为边上的中线，已知．

   

(1)求的面积；
(2)点为上一点，，过点的直线与边（不含端点）分别交于．若，求的值．

9 . 如图，边长为1的正三角形ABC的中心为O，过点O的直线与边AB，AC分别交于点M，N．
   
(1)求证：的值为常数；
(2)求的取值范围．

10 . 在中，分别是角的对边，．
(1)求角A的大小；
(2)若为锐角三角形，且其面积为，点为重心，点为线段的中点，点在线段上，且，线段与线段相交于点，求的取值范围.