1 . 已知，，函数.
（1）若函数在上有两个不同的零点，求的取值范围；
（2）求证：当时，.

2 . 已知函数，，.
（1）若，试求不等式的解集；
（2）若，求函数在上的最小值.

3 . 已知函数，其中a为常数.
(1)当时，解不等式；
(2)若是奇函数，判断并证明的单调性；
(3)若在上存在2021个不同的实数，，使得，求实数a的取值范围.

4 . 已知数列满足，．求证：当时，
（Ⅰ）；
（Ⅱ）当时，有；
（Ⅲ）当时，有．

5 . 已知函数.
求不等式的解集；
记不等式的解集为，若，求实数的取值范围.

6 . 对于函数，若在定义域内存在实数x，满足，其中k为整数，则称函数为定义域上的“k阶局部奇函数”.
（1）已知函数，试判断是否为上的“2阶局部奇函数”？并说明理由；
（2）若是上的“1阶局部奇函数”，求实数m的取值范围；
（3）若，对任意的实数，函数恒为上的“k阶局部奇函数”，求整数k取值的集合.

7 . 已知二次函数(其中)满足下列三个条件:①图象过坐标原点;②对于任意都成立;③方程有两个相等的实数根.
(1)求函数的解析式;
(2)令(其中)，求函数的单调区间(直接写出结果即可);
(3)研究方程在区间内的解的个数.

8 . 在数列与中，，，数列的前项和满足，.
（1）求，，，的值，猜测的通项公式，并证明之.
（2）求数列与的通项公式；
（3）设，.证明：.

9 . 已知函数.
（1）若对任意，恒成立，求的取值范围；
（2）若函数有两个不同的零点，，证明：.

10 . 设集合的元素均为实数，若对任意，存在，，使得且，则称元素个数最少的和为的“孪生集”；称的“孪生集”的“孪生集”为的“2级孪生集”；称的“2级孪生集”的“孪生集”为的“3级孪生集”，依此类推……
（1）设，直接写出集合的“孪生集”；
（2）设元素个数为的集合的“孪生集”分别为和，若使集合中元素个数最少且所有元素之和为2，证明：中所有元素之和为；
（3）若，请直接写出的“级孪生集”的个数，及所有“级孪生集”的并集的元素个数.