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解题方法
1 . 已知函数
的图象关于直线
对称．其最小正周期与函数
相同．
(1)求
的对称中心，
(2)若函数在
上恰有8个零点，求
的最小值；
(3)设函数
，证明：
有且只有一个零点
，且
．
的图象关于直线对称．其最小正周期与函数相同．(1)求
的对称中心，(2)若函数
在上恰有8个零点，求的最小值；(3)设函数
，证明：有且只有一个零点，且．
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解题方法
2 . 已知函数
的定义域为
，若存在实数
，使得对于任意
都存在
满足
，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．
(1)判断定义域为
的三个函数
，
，
是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由；
(2)判断函数
是否为“自均值函数”，并说明理由；
(3)若函数
为”自均值函数”，求
的取值范围．
的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．(1)判断定义域为
的三个函数，，是否为“自均值函数”，给出判断即可，不需说明理由；(2)判断函数
是否为“自均值函数”，并说明理由；(3)若函数
为”自均值函数”，求的取值范围．
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解题方法
3 . 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．
(1)判断函数
是否为“自均值函数”，并说明理由；
(2)若函数
，
为“自均值函数”，求的取值范围．
的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足，则称函数为“自均值函数”，其中称为的“自均值数”．(1)判断函数
是否为“自均值函数”，并说明理由；(2)若函数
，为“自均值函数”，求的取值范围．
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解题方法
4 . 已知函数
的定义域为，若存在常数
，使得对内的任意
，
，都有
，则称是“
-利普希兹条件函数”.
(1)判断函数
，
是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由；
(2)若函数
是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；
(3)设
，若
是“2024-利普希兹条件函数”，且
的零点也是的零点，
. 证明：方程
在区间
上有解.
的定义域为，若存在常数，使得对内的任意，，都有，则称是“-利普希兹条件函数”.(1)判断函数
，是否为“2-利普希兹条件函数”，并说明理由；(2)若函数
是“-利普希兹条件函数”，求的最小值；(3)设
，若是“2024-利普希兹条件函数”，且的零点也是的零点，. 证明：方程在区间上有解.
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解题方法
5 . 已知函数的定义域为
，若存在实数
，使得
，都
满足
，则称函数为“三倍函数”.
(1)判断函数
是否为“三倍函数”，并说明理由；
(2)若函数，为“三倍函数”，求的取值范围.
的定义域为，若存在实数，使得，都满足，则称函数为“三倍函数”.(1)判断函数
是否为“三倍函数”，并说明理由；(2)若函数
，为“三倍函数”，求的取值范围.
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名校
解题方法
6 . 已知函数的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足 ，则称函数为“自均值函数”.
(1)判断函数
是否为“自均值函数”，并说明理由；
(2)若函数
，
为“自均值函数”，求的取值范围.
的定义域为，若存在实数，使得对于任意都存在满足 ，则称函数为“自均值函数”.(1)判断函数
是否为“自均值函数”，并说明理由；(2)若函数
，为“自均值函数”，求的取值范围.
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2023-10-19更新
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616次组卷
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5卷引用：辽宁省沈阳市东北育才学校2023-2024学年高三上学期10月联合考试数学试题
辽宁省沈阳市东北育才学校2023-2024学年高三上学期10月联合考试数学试题（已下线）模块二 专题2 函数 单元检测篇 B提升卷（已下线）专题05 三角函数4-2024年高一数学寒假作业单元合订本福建师范大学附属中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题北京市延庆区2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
7 . 在
中，
为
边上一点，且
平分
．
(1)若
，求
与；
(2)若
，设
，求
．
中，为边上一点，且平分．(1)若
，求与；(2)若
，设，求．
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2023-09-14更新
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2231次组卷
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3卷引用：河北省唐山市2023-2024学年度高三上学期摸底演练数学试题
8 . 某烟花厂准备生产一款环保、安全的迷你小烟花，初步设计了一个平面图，如图所示，该平面图由
，直角梯形
和以
为圆心的四分之一圆弧
构成，其中
，
，
，且
，
，
，将平面图形
以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．
(1)求该烟花的体积；
(2)工厂准备将矩形
（该矩形内接于图形
，
在弧
上，
在线段
上，
在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设
（
），
①请用
表示燃料的体积
；
②若烟花燃烧时间和燃料体积满足关系
，请计算这个烟花燃烧的最长时间．
，直角梯形和以为圆心的四分之一圆弧构成，其中，，，且，，，将平面图形以所在直线为轴，旋转一周形成的几何体即为烟花．(1)求该烟花的体积；
(2)工厂准备将矩形
（该矩形内接于图形，在弧上，在线段上，在上）旋转所形成的几何体用来安放燃料，设（），①请用
表示燃料的体积；②若烟花燃烧时间
和燃料体积满足关系，请计算这个烟花燃烧的最长时间．
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解题方法
9 . 对于函数
，若存在非零常数M，使得对任意的
，都有
成立，我们称函数为“M函数”；对于函数，若存在非零常数M，使得对任意的，都有
成立，我们称函数为“严格M函数”.
(1)求证：
，是“M函数”；
(2)若函数
，是“
函数”，求k的取值范围；
(3)对于定义域为R的函数对任意的正实数M，均是“严格M函数”，若
，求实数a的最小值.
，若存在非零常数M，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“M函数”；对于函数，若存在非零常数M，使得对任意的，都有成立，我们称函数为“严格M函数”.(1)求证：
，是“M函数”；(2)若函数
，是“函数”，求k的取值范围；(3)对于定义域为R的函数
对任意的正实数M，均是“严格M函数”，若，求实数a的最小值.
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2023-04-30更新
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362次组卷
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2卷引用：山东省青岛市西海岸新区2022-2023学年高一下学期期中数学试题
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解题方法
10 . 十字测天仪广泛应用于欧洲中世纪晚期的航海领域，主要用于测量太阳等星体的方位，便于船员确定位置.如图1所示，十字测天仪由杆AB和横档CD构成，并且E是CD的中点，横档与杆垂直并且可在杆上滑动.十字测天仪的使用方法如下：如图2，手持十字测天仪，使得眼睛可以从A点观察.滑动横档CD使得A，C在同一水平面上，并且眼睛恰好能观察到太阳，此时视线恰好经过点D，DE的影子恰好是AE.然后，通过测量AE的长度，可计算出视线和水平面的夹角
（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.
(1)若在某次测量中，横档的长度为20，测得太阳高度角
，求影子AE的长；
(2)若在另一次测量中，
，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值；
(3)在杆AB上有两点
，
满足
.当横档CD的中点E位于
时，记太阳高度角为
，其中
，
都是锐角.证明：
.
（称为太阳高度角），最后通过查阅地图来确定船员所在的位置.(1)若在某次测量中，横档
的长度为20，测得太阳高度角，求影子AE的长；(2)若在另一次测量中，
，横档的长度为20，求太阳高度角的正弦值；(3)在杆AB上有两点
，满足.当横档CD的中点E位于时，记太阳高度角为，其中，都是锐角.证明：.
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2023-04-26更新
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1333次组卷
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6卷引用：四川省成都市第七中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学试题
