1 . 已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)已知有两个极值点，且，证明：．

2 . 已知函数
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若存在最大值，求最大值和的取值范围．
(3)当时，求证：．

3 . 已知函数
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当，．

4 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设，若，是的两个极值点，证明：．

5 . 已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若方程有两个不相等的实根，，证明：

6 . 已知函数，为实数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若函数在处取得极值，是函数的导函数，且，，证明：．

7 . 已知双曲线C：的右焦点为，且C的一条渐近线恰好与直线垂直.
(1)求C的方程；
(2)直线l：与C的右支交于A，B两点，点D在C上，且轴.求证：直线BD过点F.

8 . 椭圆与双曲线有相同的焦点，且过.

   

(1)求椭圆的方程；
(2)如图所示，记椭圆的左、右顶点分别为，，当动点在定直线上运动时，直线，分别交椭圆于两点，.
（i）证明：点B在以为直径的圆内；
（ii）求四边形面积的最大值.

9 . 已知函数.
(1)判断在上的单调性；
(2)若，求证：.

10 . 已知函数.
(1)若函数在上单调递增，求的值；
(2)当时，证明：函数有两个极值点，且.