1 . 已知函数的图象在点处的切线方程为.
（1）求，的值；
（2）当时，证明：对恒成立.

2 . 设函数．
（1）若在上存在零点，求实数的取值范围；
（2）证明：当时，．

3 . 已知函数，R．
（1）若存在单调递增区间，求的取值范围；
（2）若，为的两个不同极值点，证明：．

4 . 设函数．
（1）当时，求证：；
（2）若，使得不等式成立，求实数a的取值范围．

5 . 已知函数，其中.
（1）当时，函数的单调性；
（2）若函数的导函数在区间上存在零点，证明：当时.

6 . 已知函数，.
（1）当时，求函数的最小值；
（2）若存在两个零点，，求的取值范围，并证明.

7 . 已知直线：与轴交于点，且，其中为坐标原点，为抛物线：的焦点.
（1）求拋物线的方程；
（2）若直线与抛物线相交于，两点(在第一象限)，直线，分别与抛物线相交于，两点（在的两侧），与轴交于，两点，且为中点，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值；
（3）在（2）的条件下，求的面积的取值范围.

8 . 已知函数，.
（1）时求函数的单调区间；
（2）当时，求证：对任意，恒有成立．

9 . 已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上的动点，为椭圆的右焦点，，分别为椭圆的左、右顶点，点满足.
①证明：为定值；
②设是直线上的动点，直线、分别另交椭圆于、两点，求的最小值.

10 . 已知函数
（1）讨论的单调性；
（2）若，设
（i）证明：有唯一正零点：
（ii）记的正零点为，证明：当时，