1 . 已知函数．
（1）试讨论的单调性；
（2）若，证明：．

2 . 已知函数.
（1）讨论的单调性;
（2）当时，证明:

3 . 已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆上的动点，为椭圆的右焦点，，分别为椭圆的左、右顶点，点满足.
①证明：为定值；
②设是直线上的动点，直线、分别另交椭圆于、两点，求的最小值.

4 . 已知抛物线：的焦点为，倾斜角为45°的直线过点与抛物线交于，两点，且.
（1）求；
（2）设点为直线与抛物线在第一象限的交点，过点作的斜率分别为，的两条弦，，如果，证明直线过定点，并求出定点坐标.

5 . 阿基米德（公元前287年公元前212年，古希腊）不仅是著名的哲学家、物理学家，也是著名的数学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．在平面直角坐标系中，椭圆：（）的面积为，两焦点与短轴的一个顶点构成等边三角形．过点且斜率不为0的直线与椭圆交于不同的两点，．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设椭圆的左、右顶点分别为，，直线与直线交于点，试证明，，三点共线；
（3）求面积的最大值.

6 . 已知椭圆C：的离心率为，且过点．
（1）求的方程：
（2）点，在上，且，，为垂足．证明：存在定点，使得为定值．

7 . 已知函数，．
（1）求在区间上的极值点；
（2）证明：恰有3个零点．

8 . 已知函数，其中，为自然对数的底数.
（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；
（2）当，时，
①证明：函数恰有一个零点；
②设为的极值点，为的零点，证明：.
参考数据：

9 . 已知动圆M与直线相切，且与圆N：外切
（1）求动圆圆心M的轨迹C的方程；
（2）点O为坐标原点，过曲线C外且不在y轴上的点P作曲线C的两条切线，切点分别记为A，B，当直线与的斜率之积为时，求证：直线过定点.

10 . 已知函数g（x）＝e^x﹣ax²﹣ax，h（x）＝e^x﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．
（1）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．
①讨论f（x）的单调性；
②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．
（2）已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x₁，x₂，证明：．