1 . 已知椭圆的短轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆C的左、右顶点分别为A、B，点P、Q是椭圆C上异于A、B的不同两点，直线BP的斜率为，直线AQ的斜率为，求证：直线PQ过定点．

2 . 已知函数.
（1）若在上恒成立，求实数a的取值范围.
（2）证明：.

3 . 已知a＞0，函数．
（1）若f（x）为减函数，求实数a的取值范围；
（2）当x＞1时，求证：．（e＝2.718…）

4 . 已知的长轴长为4，短轴长为2．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点A，B分别为椭圆C的左、右顶点，点P为椭圆C上的动点（异于A，B两点），过原点O作直线PB的垂线，垂足为H，直线OH与直线AP相交于点M，证明：点M的横坐标为定值．

5 . 已知函数.
（1）若在单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，且只有一个极值点，求实数的取值范围，并证明：.

6 . 如图，已知焦点在轴上的椭圆的长轴长为，离心率为.

（1）求椭圆的方程；
（2）设为原点，椭圆的左、右两个顶点分别为、，点椭圆上与、不重合的任意一点，点和点关于轴对称，直线与直线交于点，求证：，两点的横坐标之积为定值．

7 . 设函数（，，）．
（1）设，，，证明：在区间内存在唯一的零点；
（2）设，若任意，，都有，求的取值范围；
（3）在（1）条件下，设是在上的零点，判断数列，，…，，…的增减性．

8 . 设为曲线上两点，与的横坐标之和为
（1）若与的纵坐标之和为求直线的方程.
（2）证明：线段的垂直平分线过定点.

9 . 设A是圆上的任意一点，l是过点A且与x轴垂直的直线，B是直线l与x轴的交点，点Q在直线l上，且满足．当点A在圆O上运动时，记点Q的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知直线与曲线C交于M，N两点，点M关于y轴的对称点为，证明：直线过定点．

10 . 已知椭圆C：（）的两个顶点分别为点，，离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）点D为x轴上一点，过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过D作的垂线交于点E.证明：与的面积之比为定值.