1 . 设函数.
（1）设，，，证明：在区间内存在唯一的零点；
（2）设，若对任意，都有，求b的取值范围.

2 . 已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，求证：．

3 . 已知函数，，．
(1)当，时，求证：；
(2)若恒成立，求的最大值．

4 . 已知函数，．
（1）讨论的单调性；
（2）若，证明对任意，恒成立．

5 . 已知椭圆的长轴长为4，焦距为，点为椭圆上一动点，且直线的斜率之积为．

（1）求椭圆的标准方程；
（2）设分别是椭圆的左右顶点，若点是上不同于的两点，且满，求证：的面积为定值．

6 . 已知抛物线C∶y²=2px(p>0)的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，三角形AOB(点O为坐标原点)的面积为2.
（1）求抛物线C的方程；
（2）设不经过原点的直线与抛物线交于P，Q两点，设直线OP，OQ的倾斜角分别为α和β，证明：当时，直线恒过定点.

7 . 已知直线交抛物线于两点．
（1）设直线与轴的交点为．若，求实数的值；
（2）若点在抛物线上，且关于直线对称，求证：四点共圆．

8 . 已知椭圆的短轴长为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）椭圆C的左、右顶点分别为A、B，点P、Q是椭圆C上异于A、B的不同两点，直线BP的斜率为，直线AQ的斜率为，求证：直线PQ过定点．

9 . 已知函数，且在处取得极值．
（Ⅰ）求b的值；
（Ⅱ）若当时，恒成立，求c的取值范围；
（Ⅲ）对任意的，是否恒成立？如果成立，给出证明；如果不成立，请说明理由．

10 . 椭圆：的左右焦点分别为、，且椭圆过点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过原点作两条相互垂直的直线、，与椭圆交于，两点，与椭圆交于，两点，求证：四边形的内切圆半径为定值．