1 . 已知和为椭圆上两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点且斜率为的直线交于另一点,求的面积.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若过点且斜率为的直线交于另一点,求的面积.
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解题方法
2 . 在空间几何体中,四边形均为直角梯形,,.(1)如图1,若,求直线与平面所成角的正弦值;
(2)如图2,设
(ⅰ)求证:平面平面;
(ⅱ)若二面角的余弦值为,求的值.
(2)如图2,设
(ⅰ)求证:平面平面;
(ⅱ)若二面角的余弦值为,求的值.
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3 . 如图的实线部分是江南某公园内的一个月亮门的正面外部轮廓,它由三部分构成:①水平地平线;②位于地平线与离地高的水平线之间的是长半轴长为的同一个椭圆的左、右两侧的一部分;③水平线以上是半径为的半圆.(1)请建立适当的平面直角坐标系,并用曲线方程将此月亮门的轮廓刻画与表达出来;
(2)某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门,包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小,若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形,搬运过程中要求包装箱保持水平状态(横截面与地面垂直,且有一边保持水平),为方便搬运,你会提前告诉货运公司哪些信息?为什么?
(2)某货运公司计划搬运一批大型包装箱通过此门,包装箱能否通过此门取决于其横截面的形状和大小,若包装箱的横截面分别为正方形或正三角形,搬运过程中要求包装箱保持水平状态(横截面与地面垂直,且有一边保持水平),为方便搬运,你会提前告诉货运公司哪些信息?为什么?
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解题方法
4 . 已知点 为椭圆 上任一点,椭圆的短轴长为 ,离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)若点 是抛物线 的准线上的任意一点,以为直径的圆过原点 ,试判断 是否为定值? 若是,请求出这个定值; 若不是,请说明理由.
(1)求椭圆 的标准方程;
(2)若点 是抛物线 的准线上的任意一点,以为直径的圆过原点 ,试判断 是否为定值? 若是,请求出这个定值; 若不是,请说明理由.
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5 . 如图,在斜三棱柱 中, 分别是 的中点.(1)证明: 平面 ;
(2)若 ,且 ,求直线 与平面所成角的正弦值.
(2)若 ,且 ,求直线 与平面所成角的正弦值.
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解题方法
6 . (1)请写出由拋物线的定义推导抛物线的标准方程的过程;
(2)设直线与抛物线交于两点,且,求的值.
(2)设直线与抛物线交于两点,且,求的值.
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7 . 如图所示,在棱长为2的正方体中,分别是棱的中点,点是棱上的动点,.(1)当时,证明:直线平面;
(2)若二面角的大小等于,求的值;
(3)记三棱锥的体积为,试将表示为的函数.
(2)若二面角的大小等于,求的值;
(3)记三棱锥的体积为,试将表示为的函数.
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解题方法
8 . 2024年4月30日17时46分,神舟十七号返回舱成功着陆,返回舱是宇航员返回地球的座舱.返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆 和一段圆弧 组成的“果圆”.如图,在平面直角坐标系中,某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与.(1)写出图中“果圆”的方程;
(2)直线交该“果圆”于A、B两点,求弦AB的长度(精确到0.01).
(2)直线交该“果圆”于A、B两点,求弦AB的长度(精确到0.01).
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9 . 已知椭圆 的左、右顶点分别为、,且椭圆经过点 .
(1)求的值,并求经过点且与圆相切的直线方程;
(2)设为椭圆上的一个异于、的动点,直线、分别与直线相交于、两点,求的最小值:
(3)已知椭圆上有不同的两点、,且直线不与坐标轴垂直,设直线、的斜率分别为、,求证:“”是“直线经过定点”的充要条件.
(1)求的值,并求经过点且与圆相切的直线方程;
(2)设为椭圆上的一个异于、的动点,直线、分别与直线相交于、两点,求的最小值:
(3)已知椭圆上有不同的两点、,且直线不与坐标轴垂直,设直线、的斜率分别为、,求证:“”是“直线经过定点”的充要条件.
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解题方法
10 . 某款平安锁边缘形状可以看作平面内一个椭圆的两段“弧”和以椭圆左右焦点为圆心的两个半圆组成,曲线和曲线交于点,. 如图1所示建立平面直角坐标系,曲线所对应的方程为,,曲线所对应的方程为,.(1)求的值及曲线所在椭圆的离心率的值;
(2)现要在平安锁上找一个点作为装饰孔,要求过点且法向量为的直线与曲线交于两点(如图2所示),满足,求实数的值;
(3)商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁,要求该菱形的四边与平安锁椭圆段和圆弧段均相切(如图3所示),求该菱形的面积.
(2)现要在平安锁上找一个点作为装饰孔,要求过点且法向量为的直线与曲线交于两点(如图2所示),满足,求实数的值;
(3)商家要设计一个菱形凹陷以嵌入平安锁,要求该菱形的四边与平安锁椭圆段和圆弧段均相切(如图3所示),求该菱形的面积.
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