4 . 某展览会有四个展馆，分别位于矩形ABCD的四个顶点A、B、C、D处，现要修建如图中实线所示的步道（宽度忽略不计，长度可变）把这四个展馆连在一起，其中百米，百米，且.

(1)试从各段步道的长度与图中各角的弧度数中选择某一变量作为自变量x，并求出步道的总长y（单位：百米）关于x的函数关系式；
(2)求步道的最短总长度（精确到0.01百米）.

5 . 设函数，其中，若任意均有，则称函数是函数的控制函数”，且对于所有满足条件的函数在处取得的最小值记为．
(1)若，试问是否为的控制函数”；
(2)若，使得直线是曲线在处的切线，证明：函数为函数的控制函数，并求“”的值；
(3)若曲线在处的切线过点，且，证明：当且仅当或时，．

7 . 已知定义域为R的函数.当时，若是严格增函数，则称是一个“函数”.
(1)分别判断函数、是否为函数；
(2)是否存在实数b，使得函数，是函数？若存在，求实数b的取值范围；否则，证明你的结论；
(3)已知，其中.证明：若是R上的严格增函数，则对任意，都是函数.

10 . 设函数（其中是非零常数，是自然对数的底），记．
(1)求对任意实数，都有成立的最小整数的值；
(2)设函数，若对任意，，都存在极值点，求证：点在一定直线上，并求出该直线方程；
(3)是否存在正整数和实数，使且对于任意，至多有一个极值点，若存在，求出所有满足条件的和，若不存在，说明理由．