1 . 给定正整数．求最大的实数．使得对任意正实数恒成立，其中．

2 . 如图，是的一条弦，的垂直平分线交于两点，交于点．为内一点，外接圆交于点的外接圆交于点，且点在直线同侧．证明：．

3 . 是否存在满足下述条件的整数？正整数集合可以被划分成n个非空子集，任意两个子集的交集为空集，所有子集的并集是正整数集合，并且从任意个子集中，每个子集各任意取一个整数，所得个整数之和，都属于剩余的那个子集.

4 . 设n是一个大于等于3的正整数，当n满足什么条件时，对任意实数总成立：.

5 . 如图，在锐角中，已知点D､E､F分别是点A､B､C在边､､上的投影，､的内心分别为､，､的外心分别为､，证明：.

8 . 求方程的整数解，其中p､q是质数，r､s是大于1的正整数，并证明所得到的解是全部解.

9 . 设n是正整数，我们说集合的一个排列具有性质P，是指在当中至少有一个i，使得.求证：对于任何n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.