1 . 对于整数除以某个正整数的问题，如果只关心余数的情况，就会产生同余的概念.关于同余的概念如下：用给定的正整数
分别除整数
，若所得的余数（小于正整数的自然数，即0，1，
）相等，则称对模同余，记作
.例如：因为
，
，所以
；因为
，所以
.表示对模同余关系的式子叫做模的同余式，简称同余式，同余式的记号是高斯在1800年首创.两个同模的同余式也能够进行加法和减法运算，其运算规则如下：已知整数
，正整数，若
，则
，
.阅读上述材料，解决下列问题：
(1)若
，且整数
，求
的值；
(2)已知整数，正整数，证明：若，则
；
(3)若
，其中
为正整数，
为非负整数，证明：能被11整除的充要条件为
能被11整除.
分别除整数，若所得的余数（小于正整数的自然数，即0，1，）相等，则称对模同余，记作.例如：因为，，所以；因为，所以.表示对模同余关系的式子叫做模的同余式，简称同余式，同余式的记号是高斯在1800年首创.两个同模的同余式也能够进行加法和减法运算，其运算规则如下：已知整数，正整数，若，则，.阅读上述材料，解决下列问题：(1)若
，且整数，求的值；(2)已知整数
，正整数，证明：若，则；(3)若
，其中为正整数，为非负整数，证明：能被11整除的充要条件为能被11整除.
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2 . 将20个无任何区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子内的小球个数不小于它的编号数，则不同的放法有（ ）
| A．90种 | B．120种 | C．160种 | D．190种 |
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2024-01-10更新
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792次组卷
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6卷引用：专题2.5排列组合综合（强化训练）-2023-2024学年高二数学下学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）
（已下线）专题2.5排列组合综合（强化训练）-2023-2024学年高二数学下学期重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019）（已下线）6.2.3&6.2.4 组合、组合数（8大题型）精讲-2023-2024学年高二数学题型分类归纳讲与练（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）模块五 专题2 全真基础模拟2（已下线）专题03 计数原理与排列组合--高二期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）辽宁省沈阳市重点学校联合体2023-2024学年高二上学期期末检测数学试题（已下线）专题8-1排列组合归类-1
3 . 在平面直角坐标系中，定义
为两点
，
的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有
；②已知点P（3，1）和直线
，则
；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为______ ．
为两点，的“切比雪夫距离”．又设点P及l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l）．给出下列四个命题：①对任意三点A，B，C，都有；②已知点P（3，1）和直线，则；③到原点的“切比雪夫距离”等于1的点的轨迹是正方形．其中正确的序号为
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解题方法
4 . 在农业生产中，自动化控制技术的应用有效提高了农业生产效率.如图所示，在某矩形试验田
中，
为
中点，
为
中点，三角形
区域种植小麦，梯形
区域种植玉米.为提高劳动效率，节约用水，现采用自动浇水机器人（忽略机器人的面积）对试验田进行灌溉.已知该机器人沿着以为焦点，
为准线的抛物线运动，且向以自身为圆心，半径为
的圆形区域内浇水.记小麦田能够被机器人灌溉的面积为
，则（ ）（若直线
与抛物线
相切于点
，平行于的直线
与交于
两点，记
与围成的图形面积为
的面积为
，则
）
中，为中点，为中点，三角形区域种植小麦，梯形区域种植玉米.为提高劳动效率，节约用水，现采用自动浇水机器人（忽略机器人的面积）对试验田进行灌溉.已知该机器人沿着以为焦点，为准线的抛物线运动，且向以自身为圆心，半径为的圆形区域内浇水.记小麦田能够被机器人灌溉的面积为，则（ ）（若直线与抛物线相切于点，平行于的直线与交于两点，记与围成的图形面积为的面积为，则）A． | B． |
C． | D． |
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5 . 有5对夫妇和，
共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法）.
(1)若5对夫妇都相邻而坐，，相邻而坐，共有多少种坐法？
(2)5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，，不相邻，共有多少种坐法？
，共12人参加一场婚宴，他们被安排在一张有12个座位的圆桌上就餐（旋转之后算相同坐法）.(1)若5对夫妇都相邻而坐，
，相邻而坐，共有多少种坐法？(2)5对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙二人的太太是闺蜜要相邻而坐，
，不相邻，共有多少种坐法？
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2023-05-24更新
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400次组卷
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10卷引用：第02讲 排列-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）
（已下线）第02讲 排列-【帮课堂】2021-2022学年高二数学同步精品讲义（苏教版2019选择性必修第二册）（已下线）第01讲 加法计数原理与乘法计数原理（核心考点讲与练）-2021-2022学年高二数学下学期考试满分全攻略（人教A版2019选修第二册+第三册）（已下线）6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理（分层作业）-【上好课】2022-2023学年高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）专题01 两个计数原理与排列组合（7类压轴题型）-【常考压轴题】2023-2024学年高二数学压轴题攻略（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）专题03 计数原理与排列组合--高二期末考点大串讲（苏教版2019选择性必修第二册）人教B版(2019) 选修第二册 突围者 第三章 专项拓展训练1 排列、组合中的分组与分配问题）+训练2 重排、多排、错排、环排问题湘教版(2019) 选修第一册 突围者 第4章 专项拓展训练2 重排、多排、错排、环排问题2023版 北师大版(2019) 选修第一册 突围者 第五章 专项拓展训练2 重排、多排、错排、环排问题（已下线）第三篇 数列、排列与组合 专题7 排列与组合 微点5 圆排列问题综合训练（已下线）计数原理与二项式定理-综合测试卷A卷
6 . 将编号为
的小球放入编号为的小盒中，每个小盒放一个小球.则恰有一个小球与所在盒子编号相同的概率为（ ）
的小球放入编号为的小盒中，每个小盒放一个小球.则恰有一个小球与所在盒子编号相同的概率为（ ）A． | B． | C． | D． |
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2022-05-24更新
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1629次组卷
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6卷引用：专题06计数原理--高二期末考点大串讲（沪教版2020选修）
（已下线）专题06计数原理--高二期末考点大串讲（沪教版2020选修）（已下线）2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题17-19题（已下线）2022年全国新高考Ⅰ卷数学试题变式题5-8题上海市松江区华东政法大学附属松江高级中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题湖北省鄂东南三校2022届高三下学期5月适应性训练数学试题云南民族大学附属中学2022届高三高考押题卷三数学（理）试题
名校
解题方法
7 . 在空间直角坐标系
中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程
表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲面在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点
是二次曲面
上的任意一点，且
，
，
，则当
取得最小值时，不等式
恒成立，则实数的取值范围是________ ．
中，三元二次方程所对应的曲面统称为二次曲面．比如方程表示球面，就是一种常见的二次曲面．二次曲面在工业、农业、建筑等众多领域应用广泛．已知点是二次曲面上的任意一点，且，，，则当取得最小值时，不等式恒成立，则实数的取值范围是
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2022-05-17更新
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860次组卷
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6卷引用：第5章 导数及其应用（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练（原卷版）
（已下线）第5章 导数及其应用（基础、常考、易错、压轴）分类专项训练（原卷版）（已下线）专题08 导数及其应用（模拟练）（已下线）数学（上海A卷）湖北省鄂东南三校2022届高三下学期5月联考数学试题河南省濮阳市第一高级中学2021-2022学年高三上学期第一次质量检测理科数学试题上海市南模中学2024届高三上学期期中数学试题
名校
解题方法
8 . 设
是定义在
上的函数，其导函数为
，若
，
，则不等式
（其中
为自然对数的底数）的解集为（ ）
是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）A． | B． |
C． | D． |
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2022-09-11更新
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1066次组卷
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6卷引用：5.3导数在研究函数中的应用（4）
（已下线）5.3导数在研究函数中的应用（4）（已下线）专题5 抽象函数构造解函数不等式问题【讲】（高二期末压轴专项）江西省抚州市金溪县第一中学2021-2022学年高二上学期第一次月考数学（理）试题（已下线）9.5 构造函数常见的方法（精讲）（已下线）5．3．2~5．3．3 极大值与极小值、最大值与最小值 （3）宁夏平罗中学2023届高三上学期第一次月考数学（文）试题
解题方法
9 . 正整数1，2，3，…n的全排列
满足
称为n项更列，记n项更列的个数为
，则下列命题中正确的是（ ）
满足称为n项更列，记n项更列的个数为，则下列命题中正确的是（ ）A． |
B． |
C． |
D． |
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10 . 如图，表1是一个由40×20个非负实数组成的40行20列的数表，其中am，n（m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，20）表示位于第m行第n列的数.将表1中每一列的数都按从大到小的次序从上到下重新排列（不改变该数所在的列的位置），得到表2（即bi，j≥bi+1，j，其中i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20）.
表1
表2
（1）判断是否存在表1，使得表2中的bi，j（i＝1，2，…，40；j＝1，2，…，20）等于100﹣i﹣j？等于i+2﹣j呢？（结论不需要证明）
（2）如果b40，20＝1，且对于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有bi，j﹣bi+1，j≥1成立，对于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有bm，n﹣bm，n+1≥2成立，证明：b1，1≥78；
（3）若ai，1+ai，2+…+ai，20≤19（i＝1，2，…，40），求最小的正整数k，使得任给i≥k，都有bi，1+bi，2+…+bi，20≤19成立.
表1
| a1，1 | a1，2 | … | a1，20 |
| a2，1 | a2，2 | … | a2，20 |
| … | … | … | … |
| a40，1 | a40，2 | … | a40，20 |
| b1，1 | b1，2 | … | b1，20 |
| b2，1 | b2，2 | … | b2，20 |
| … | … | … | … |
| b40，1 | b40，2 | … | b40，20 |
（2）如果b40，20＝1，且对于任意的i＝1，2，…，39；j＝1，2，…，20，都有bi，j﹣bi+1，j≥1成立，对于任意的m＝1，2，…，40；n＝1，2，…，19，都有bm，n﹣bm，n+1≥2成立，证明：b1，1≥78；
（3）若ai，1+ai，2+…+ai，20≤19（i＝1，2，…，40），求最小的正整数k，使得任给i≥k，都有bi，1+bi，2+…+bi，20≤19成立.
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