1 . 已知函数为其导函数．
(1)若恒成立，求的取值范围；
(2)若存在两个不同的正数，使得，证明：．

2 . 已知函数有三个极值点，，（）．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若，求实数a的最大值．

3 . 已知函数.
(1)讨论函数的零点个数；
(2)若函数有两个极值点，证明：.

4 . 已知.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若有两个极值点，，证明：.

5 . 已知函数，其中自然常数．
(1)若是函数的极值点，求实数的值；
(2)当时，设函数的两个极值点为，且，求证：．

6 . 牛顿在《流数法》一书中，给出了代数方程的一种数值解法——牛顿法．具体做法如下：如图，设r是的根，首先选取作为r的初始近似值，若在点处的切线与轴相交于点，称是r的一次近似值；用替代重复上面的过程，得到，称是r的二次近似值；一直重复，可得到一列数：．在一定精确度下，用四舍五入法取值，当近似值相等时，该值即作为函数的一个零点．

(1)若，当时，求方程的二次近似值（保留到小数点后两位）；
(2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，直线常常取为曲线的切线或割线，求函数在点处的切线，并证明：；
(3)若，若关于的方程的两个根分别为，证明：．

7 . 已知函数，．
(1)若在上为增函数，求实数的取值范围．
(2)当时，设的两个极值点为，且，求的最小值．

8 . 已知函数，
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若函数有两个极值点，求的最小值.

9 . 已知函数为实数.
(1)讨论函数的极值；
(2)若存在满足，求证：.

10 . 已知函数，．
(1)若存在零点，求a的取值范围；
(2)若，为的零点，且，证明：．