1 . 已知与都是定义在上的函数，若对任意，，当时，都有，则称是的一个“控制函数”．
(1)判断是否为函数的一个控制函数，并说明理由；
(2)设的导数为，，求证：关于的方程在区间上有实数解；
(3)设，函数是否存在控制函数？若存在，请求出的所有控制函数；若不存在，请说明理由．

2 . 已知正整数，函数．
(1)若，，，，在上严格增，求实数t的最小值；
(2)若，，，，在处有极值，函数有3个不同的零点，求实数m的取值范围；
(3)若函数的导函数恰有个零点（，2，…，k），满足，求证：在上严格增．

3 . 已知函数.
(1)依次求，，的值；
(2)对任意正整数n，记，即.猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

4 . 已知椭圆E的方程为，与是E的左右两个焦点，是E的下顶点．
(1)设斜率为1的直线l过点，且与E交于M，N两点，求弦的长；
(2)若E上一点P满足，求三角形的面积；
(3)设椭圆上一点，求证：射线平分．

5 . 设，，.
(1)求函数，的单调区间和极值；
(2)若关于不等式在区间上恒成立，求实数的值；
(3)若存在直线，其与曲线和共有3个不同交点，，，求证：成等比数列.

6 . 已知、是定义在上的函数，且在上是严格增函数，设满足，且对于中的任意两个相异的实数、，恒有．
(1)求证：在上是严格增函数；
(2)设，，，求证：．

7 . 我们用表示某个关于的代数式，现在有如下两个关于的真命题：
①对任意的实数、，都有；
②对任意的实数、，都有成立；
其中是大于的常数．设实数、、满足条件且．
(1)证明：；
(2)证明：；
(3)证明：．

8 . 若函数满足，则称函数为“倒函数”．
(1)判断函数和是否为倒函数，并说明理由；
(2)若（恒为正数），其中是偶函数，是奇函数，求证：是倒函数；
(3)若为倒函数，求实数m、n的值；判定函数的单调性，并说明理由．

9 . 已知集合，为坐标原点，若，，、，定义点、之间的距离为.
（1）若，，，求的值；
（2）记，若（为常数），求的最大值，并写出一组此时满足条件的向量、；
（3）若，试判断“存在，使”是“”的什么条件？并证明.

10 . 若定义域为的函数满足：对于任意，都有，则称函数具有性质．
（1）设函数，的表达式分别为，，判断函数与是否具有性质，说明理由；
（2）设函数的表达式为，是否存在以及，使得函数具有性质？若存在，求出，的值；若不存在，说明理由；
（3）设函数具有性质，且在上的值域恰为；以为周期的函数的表达式为，且在开区间上有且仅有一个零点，求证：．