1 . 元荡湖位于长三角一体化示范区内，2018年青浦㨦手吴江启动实施了元荡生态岸线整治，2023年8月实现元荡青浦段岸线全线贯通．如图，为拓展旅游业务，现准备在元荡湖边建造一个观景台，已知射线，为元荡湖两边夹角为的公路（长度均超过2千米），在两条公路，上分别设立游客接送点，，从观景台到，建造两条观光线路，，测得千米，千米．

(1)求线段的长度；
(2)若，求两条观光线路与之和的最大值．

2 . 2024年4月30日17时46分，神舟十七号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱．返回舱的轴截面可近似看作是由半个椭圆和一段圆弧组成的“果圆”．如图，在平面直角坐标系中，某“果圆”中圆弧经过椭圆的一个焦点和短轴的两个顶点与．

(1)写出图中“果圆”的方程；
(2)直线交该“果圆”于A、B两点，求弦AB的长度（精确到0.01）．

3 . 已知双曲线的图像经过点，点分别是双曲线的左顶点和右焦点．设过的直线交的右支于两点，其中点在第一象限．

(1)求双曲线的标准方程；
(2)若直线分别交直线于两点，证明：为定值；
(3)是否存在常数，使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

4 . 在棱长为1的正方体中，若点P是棱上一点，则满足的点P的个数为________．

5 . 已知，函数，其中．
(1)若，，写出函数图像的一条水平切线的方程；
(2)若，，且满足，证明：；
(3)若存在，使得函数有唯一零点，求实数m的取值范围．

6 . 如左下图1，是水平放置的矩形，，将矩形沿对角线折起，使得平面平面，如右下图2．设O是的中点，D是的中点．

(1)求直线与平面所成角的大小；
(2)连接，设平面与平面的交线为直线l，求证：．

7 . 某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动，学生需通过建立模型、实地测量，迭代优化完成此次活动．在以下不同小组设计的初步方案中，不可计算出旗杆高度的方案是（     ）．

A．在水平地面上任意寻找两点A、B，分别测量旗杆顶端的仰角、，再测量A、B两点间距离

B．在旗杆对面找到某建筑物（建筑物高度低于旗杆高度），测得建筑物的高度为h，在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角和

C．在地面上任意寻找一点A，测量旗杆顶端的仰角，再测量A到旗杆底部的距离

D．在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角，正对旗杆前行5m到达B处，再次测量旗杆顶端的仰角

8 . 已知圆锥的底面直径为8，高是3，则该圆锥的侧面积为________．

9 . “”是“”的（     ）条件．

A．充分不必要

B．必要不充分

C．充分必要

D．既不充分也不必要

10 . 已知中，，，，则以A、B为焦点，经过点C的椭圆的离心率为________．